La nascita della meccanica quantistica, parte 4: il Dreimännerarbeit

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3)

Nelle ultime due puntate abbiamo assistito alla nascita e ai primi passi della meccanica quantistica nella sua prima incarnazione, quella che diventerà nota con il nome di meccanica delle matrici. Il tutto è avvenuto in maniera sorprendentemente rapida, tanto che a metà del settembre 1925 i tempi sono già maturi per una prima esposizione sistematica della nuova teoria. Fino a questo momento i tre protagonisti principali della nostra storia, ovvero Heisenberg, Born e Jordan, hanno agito per lo più separatamente; li ritroveremo ora a lavorare di concerto per mettere assieme i pezzi del puzzle e formare un quadro coerente. Il risultato sarà un celebre articolo firmato da tutti e tre, che per questo motivo è ricordato nella storia della fisica semplicemente come il Dreimännerarbeit.

Prima di descrivere questi sviluppi, però, torniamo per un attimo a Heisenberg, che abbiamo un po’ perso di vista a seguito della sua precipitosa partenza da Göttingen subito dopo la consegna del manoscritto a Born. La sua destinazione è Cambridge, dove è stato invitato a tenere un ciclo di seminari presso il Cavendish Laboratory. Quest’ultimo è da circa 50 anni il centro indiscusso della fisica inglese: basti pensare che, dalla data della sua fondazione fino a quel momento, la posizione di direttore del dipartimento è stata occupata, nell’ordine, da Maxwell, Rayleigh, J. J. Thomson per finire nientemeno che con il grande Rutherford.

Heisenberg arriva dunque a Cambridge dove è ospite di Ralph Fowler, trentaseienne fisico originario dell’Essex, genero di Rutherford e fresco di nomina a Fellow della Royal Society; i due si erano conosciuti qualche tempo prima a Copenhagen, dove erano stati entrambi ospiti dell’istituto di Bohr. Durante il suo soggiorno inglese Heisenberg tiene vari seminari su diversi argomenti di fisica atomica; il più importante è quello che si svolge il 28 luglio al «Kapitza Club», un ciclo di incontri a cadenza settimanale organizzato da Peter Kapitsa (futuro scopritore della superfluidità) che in quel momento è il direttore delle ricerche sul magnetismo al Cavendish. Il seminario, dal curioso titolo «Sulla zoologia dei termini spettrali e la botanica dell’effetto Zeeman», verte ancora una volta sulle difficoltà che si incontrano nell’organizzare i dati della spettroscopia atomica, ma nonostante la platea estremamente qualificata a cui si trova di fronte, o forse proprio per questo motivo, Heisenberg non fa alcun accenno alle idee contenute nel suo ultimo lavoro, presumibilmente perché non si sente ancora del tutto sicuro della loro correttezza. Tuttavia parla di queste idee privatamente con Fowler, che riesce a strappargli la promessa di farsi mandare una copia del suo manoscritto non appena possibile.

Terminata la parentesi inglese Heisenberg ritorna in Germania, ma non a Göttingen; si ferma infatti a Monaco, per qualche settimana di meritata vacanza a casa dei suoi genitori. Il primo indizio che, nel frattempo, qualcosa di molto grosso sta bollendo in pentola gli arriva a metà agosto, quando una lettera di Born gli chiede di mandare un’altra copia del suo articolo a Jordan. Heisenberg accetta di buon grado e ne approfitta per chiedere a quest’ultimo di essere messo al corrente degli sviluppi:

Ho saputo da Born che hai fatto grandi progressi riguardo la meccanica quantistica e naturalmente sarei interessato, anzi entusiasta, di sapere qualcosa dei tuoi risultati…

La risposta di Jordan (che non conosciamo) non placa la sete di dettagli di Heisenberg, che in una nuova lettera datata 10 settembre ritorna alla carica:

Caro Jordan! Mi ha fatto molto piacere sapere che pensi di aver trovato una dimostrazione della formula di Bohr per le frequenze, e ti prego di scrivermela il più presto possibile, direttamente a Copenhagen, poiché da dopodomani in avanti tornerò anch’io a dedicarmi alla fisica…

Infatti le vacanze per Heisenberg sono finite: le voci sull’importanza del suo ultimo lavoro sono giunte anche in Danimarca e Niels Bohr, che in quel momento si sente più che mai il padrino della fisica atomica, pensa bene di invitarlo per un mese nel suo istituto per farsi spiegare le novità direttamente dal loro autore.

Jordan risponde alla richiesta del suo collega con una bozza delle prime due sezioni di quello che, da lì a pochi giorni, diventerà il suo articolo con Born; bozza che Heisenberg trova ad aspettarlo al suo arrivo a Copenhagen, e legge d’un fiato. Il 13 settembre scrive a Jordan ringraziandolo per l’invio e annunciando a sua volta nuovi progressi da parte sua:

Essendo qui da due giorni non ho avuto modo di pensare più di tanto. Comunque mi è venuta in mente una deduzione molto semplice della teoria della dispersione di Kramers sulla base del nuovo formalismo…

Qui Heisenberg si riferisce alla teoria della diffusione della luce da parte degli atomi a cui lui stesso aveva lavorato con Kramers un anno prima. Nei conti che seguono, Heisenberg introduce due idee che si riveleranno molto importanti. Anzitutto abbozza una prima versione di quella che oggi conosciamo con il nome di teoria delle perturbazioni (al primo ordine): suppone cioè che l’hamiltoniana si possa scrivere come \(H = H_{0} + \lambda H_{1}\) e procede poi sviluppando tutte le quantità in gioco, a iniziare dalle matrici \(q\) e \(p\), come serie di potenze in \(\lambda\), il che rende fattibili i calcoli anche per sistemi più realistici di quelli, molto semplici, che aveva considerato nel suo articolo di giugno.

La seconda idea importante, presa per analogia dalla meccanica classica, è quella di trasformazione canonica. Heisenberg definisce tale concetto nel nuovo formalismo come una qualunque trasformazione delle matrici \(q\) e \(p\) che lascia invariata la quantità \(pq-qp\). Proprio come nella meccanica hamiltoniana ogni trasformazione canonica è generata da una funzione \(S\) delle coordinate \(q\) e \(p\), Heisenberg propone che nella nuova meccanica le trasformazioni canoniche siano generate da una matrice \(S\) tramite una formula \1)\ast)\) del tipo

\(q = q_{0} + (Sq_{0} – q_{0}S) + \frac{1}{2} (S(Sq_{0} – q_{0}S) – (Sq_{0} – q_{0}S)S) + \dots\)

(con la serie che prosegue con un numero sempre maggiore di commutatori con \(S\, e analogamente per \(p\). La relazione fondamentale \(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0} = h/2\pi i\) viene infatti preservata da tali trasformazioni. Il problema del moto diventa allora quello di trovare la trasformazione canonica, o meglio la sua matrice generatrice \(S\), che rende diagonale la matrice hamiltoniana \(H\); problema che Heisenberg riesce a risolvere, quantomeno formalmente, in teoria delle perturbazioni.

Il 15 settembre anche Born, conclusa la sua vacanza in Svizzera, fa il suo ritorno a Göttingen; comincia così una fitta corrispondenza tra la cittadina sassone e la capitale danese, che ben presto si allarga anche ad Amburgo, dove Pauli è come sempre in costante contatto con l’amico/collega/rivale Heisenberg.

Non tutto fila liscio sin dal principio, comunque. Ad esempio, Born resta perplesso dal fatto che Heisenberg, nei suoi conti, abbia considerato solo trasformazioni lineari nelle matrici di partenza \(q_{0}\) e \(p_{0}\). Secondo Born, la cosa più naturale da farsi è invece utilizzare una generica trasformazione di similitudine:

\(q = Tq_{0}T^{-1}\) e \(p = Tp_{0}T^{-1}\)

Risulta allora \(pq-qp = T(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0})T^{-1}\), quindi se \(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0}\) è un multiplo della matrice identità allora lo è anche \(pq-qp\). Ciò dimostra che tutte le trasformazioni di similitudine sono canoniche nel senso definito da Heisenberg.

Alla fine di settembre Heisenberg realizza che le “sue” trasformazioni canoniche sono in realtà un caso particolare (o meglio, “infinitesimo”) di quelle di Born: infatti prendendo \(T = e^{S}\) queste ultime si scrivono

\(q = e^{S} q_{0} e^{-S}\)

e sostituendo l’esponenziale matriciale con la sua espansione in serie di potenze si ottiene proprio la legge di trasformazione \2)\ast)\) (e similmente per \(p\.

Con questa nuova arma nel loro arsenale, i nostri tre eroi possono finalmente attaccare il problema generale dell’integrazione delle equazioni del moto. Come abbiamo già accennato, ciò corrisponde al cercare una «trasformazione agli assi principali» per la matrice \(H\), ovvero (in termini più moderni) una base in cui l’operatore hamiltoniano sia diagonale. Qui Born è in vantaggio rispetto ai suoi due giovani colleghi grazie alla sua familiarità con la teoria delle forme quadratiche su spazi di dimensione infinita sviluppata qualche anno prima da Hilbert (del quale, come sappiamo, Born era stato assistente) e Hellinger.

Nella prima metà di ottobre Born si mette febbrilmente al lavoro su un manoscritto (che diventerà il terzo capitolo del Dreimännerarbeit) in cui delinea l’applicazione di questa teoria alla nuova meccanica. La fretta è motivata anche dal fatto che entro la fine del mese deve partire per gli Stati Uniti, dove è stato invitato dal MIT per tenere delle lezioni durante il semestre invernale. Queste settimane di intenso lavoro vengono ripagate dalla scoperta del legame fondamentale tra gli autovalori della matrice hamiltoniana e lo spettro delle energie permesse per il corrispondente sistema quantistico. E qui non posso non sottolineare una delle coincidenze più sorprendenti della storia della scienza: infatti l’insieme degli autovalori di una matrice, oggi come allora, è noto proprio con il termine di spettro, che era stato introdotto da Hilbert diversi anni prima… senza minimamente sospettare che ciò avesse nulla a che vedere con gli spettri della fisica atomica!

Born capisce dunque che per stabilire quali sono le energie permesse per un sistema quantistico occorre risolvere un problema agli autovalori. C’è però un problema: la teoria spettrale di Hilbert è valida solo per una certa classe di matrici, ovvero quelle associate a operatori limitati, e sfortunatamente le matrici che si incontrano nella nuova meccanica non sono di questo tipo. Ma Born non fa una piega: con un atto di coraggio, o per meglio dire di incoscienza matematica tipico dei fisici teorici, afferma in una nota a pié di pagina che “nonostante ciò possiamo assumere che essenzialmente gli stessi risultati siano validi” anche per gli operatori non limitati! (Ci vorrà un pezzo da 90 come von Neumann per confermare questa intuizione, alcuni anni dopo, con il teorema spettrale per operatori autoaggiunti; ma questo è materiale per un’altra puntata.)

Heisenberg ritorna a Göttingen tra il 18 e il 20 di ottobre portando con sé la bozza di quelli che diventeranno (parte de) i primi due capitoli del Dreimännerarbeit. Come d’abitudine ne spedisce una copia anche a Pauli, al quale scrive:

Ora come ora sono talmente impegnato con la meccanica quantistica che dubito fortemente che il problema di scrivere questo «articolo a tre» avrà mai una soluzione in un tempo finito. Ad ogni modo mi farebbe molto piacere avere una tua opinione sulla bozza, anche se al momento è pronta solo per un terzo circa, il che è abbastanza terribile.

Appena arrivato Heisenberg si mette subito al lavoro con Jordan per sviluppare la teoria del momento angolare nella nuova meccanica (importante per spiegare ad esempio l’effetto Zeeman); i risultati andranno a costituire il nucleo del quarto (e ultimo) capitolo del Dreimännerarbeit. Pochi giorni dopo (28 ottobre) Born, dopo aver completato la sua parte, può finalmente partire per l’America lasciando la stesura definitiva dell’articolo nelle mani dei suoi due allievi. La revisione finale del lavoro, e soprattutto la stesura dell’introduzione (da sempre la parte più importante di un articolo scientifico), sarà però opera esclusivamente di Heisenberg, che ne approfitta per ribadire le idee fisiche che stanno alla base della nuova teoria (prima tra tutte la sostituzione dei concetti «visuali» classici come posizione e velocità con quantità non visualizzabili ma con un significato operativo diretto), anche per bilanciare quella che avvertiva come un’eccessiva importanza data al formalismo matematico dai suoi due collaboratori. Illuminante al proposito è la seguente citazione tratta dall’ennesima lettera a Pauli:

Ho fatto ogni sforzo per rendere il lavoro più fisico, e alla fine sono abbastanza soddisfatto del risultato. Ma sono ancora piuttosto scontento riguardo la teoria nel suo complesso, e sono felice che tu sia così decisamente dalla mia parte riguardo al rapporto tra fisica e matematica. Qui mi trovo in un ambiente che la pensa esattamente in maniera opposta e non so se sono semplicemente troppo stupido per capire la matematica. Göttingen è divisa in due fazioni: una che parla, come Hilbert, dell’ingresso delle matrici in fisica come di un grande successo; l’altra che sostiene, come Franck, che le matrici non saranno mai capite.

A metà novembre il manoscritto viene finalmente spedito al solito Zeitschrift für Physik (sarà ricevuto il 16) con il titolo Zur Quantenmechanik II, a sottolineare il suo ruolo di continuazione del precedente articolo di Born e Jordan; sarà pubblicato nell’agosto del 1926. Ma nel frattempo, all’insaputa di tutti e tre gli autori del Dreimännerarbeit c’era un’altra persona, in un altro Paese, che stava arrivando ai loro stessi risultati… (continua)

Note   [ + ]

1. \ast)\) del tipo

\(q = q_{0} + (Sq_{0} – q_{0}S) + \frac{1}{2} (S(Sq_{0} – q_{0}S) – (Sq_{0} – q_{0}S)S) + \dots\)

(con la serie che prosegue con un numero sempre maggiore di commutatori con \(S\

2. \ast)\) (e similmente per \(p\

7 commenti

    • omega1ck

      Ehm… effettivamente questa puntata era un po’ pesantuccia… però ti prometto che le prossime due saranno molto più leggibili 🙂

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    • omega1ck

      Caro omonimo, hai ragione: sono imperdonabile. Giuro sull’integrità del mio hard disk di backup (!) che da stasera ricomincio a lavorare alla serie.

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