• A inizio estate Anthropic e OpenAI rilasciano delle nuove versioni dei loro grandi modelli linguistici (LLM) di punta: Claude Fable 5 e ChatGPT 5.6 Sol.
• Diventa subito evidente che questi modelli sono in grado, se adeguatamente guidati, di produrre nuovi risultati di altissimo livello in matematica. Uno dei più pronti a sfruttare questa possibilità è Levent Alpöge, che in breve tempo annuncia una serie di teoremi sorprendenti: il 19 luglio un controesempio alla congettura dello jacobiano, un mese dopo un controesempio alla congettura di Caratheodory, e pochi giorni dopo la costruzione di una struttura complessa sulla sfera di dimensione 6. Non mi dilungo su questi argomenti (chi è interessato troverà tutti i dettagli su wikipedia); basti dire che erano tre problemi aperti di grande rilievo nelle rispettive aree.
• Nel frattempo Alpöge (che lavora in Anthropic) ha anche in piedi una collaborazione di lungo corso con Tristan Buckmaster (che lavora invece al Courant Institute di New York) mirante a dimostrare che le equazioni di Navier-Stokes con forzante esterna possono sviluppare una singolarità nel campo di velocità in tempo finito (risolvendo con ciò uno dei celebri problemi del millennio). Come primo passo, i due hanno deciso di affrontare lo stesso problema per delle equazioni più semplici di quelle di Navier-Stokes (Eulero, Boussinesq). Anche in questo caso fanno ampio uso dei modelli linguistici di punta, sia di Anthropic che di OpenAI.
• Il 15 agosto Alpöge e Buckmeister si convincono di essere arrivati al risultato cercato per queste equazioni più semplici e iniziano a preparare tre articoli con le relative dimostrazioni spiegate come si deve.
• Verso fine mese inizia a circolare la voce che i due abbiano trovato, o siano prossimi a trovare, un risultato importante sul problema di Navier-Stokes. La divisione matematica di OpenAI, venuta a conoscenza di queste voci, inzia ad attaccare il problema (per l’equazione vera, non una di quelle semplificate) usando modelli interni, più potenti di quelli a disposizione del pubblico, forse affinati specificamente per il ragionamento matematico, e forse addestrati anche sulle chat di argomento matematico condotte dai modelli di OpenAI negli ultimi anni (comprese, eventualmente, quelle di Alpöge e Buckmeister).
• Lunedì 7 settembre Alpöge e Buckmeister pubblicano in gran fretta gli articoli a cui stavano lavorando, in una versione ancora preliminare. Il motivo di questa fretta è spiegato in un documento allegato, dove Buckmeister racconta le pressioni che aveva dovuto subire nei giorni precedenti da parte di OpenAI, che aveva nel frattempo ottenuto (con un dispendio di risorse enorme) una dimostrazione di singolarità per le equazioni Navier-Stokes, risolvendo così il problema del millennio vero e proprio. Anche qui, non mi dilungo ulteriormente su questi avvenimenti ormai ben noti; questo articolo di Maddmaths li racconta diffusamente (su wikipedia c’è una ricostruzione ancora più dettagliata).
• La dimostrazione di OpenAI viene pubblicata il giorno dopo, in due forme distinte: una formalizzazione del risultato in Lean, e un PDF di 166 pagine che dovrebbe presentare la stessa dimostrazione in maniera “informale”. Come autore del PDF è indicato semplicemente “OPENAI”, e (anche se nessuno l’ha detto esplicitamente) sembra chiaro da subito che il PDF è stato prodotto senza alcun tipo di intervento umano, come semplice output di un LLM.
• Nel frattempo il flusso di risultati “assistiti dall’AI” continua ad aumentare, tanto che ormai buona parte degli articoli che appaiono su arxiv e altri repository contengono un esplicito riconoscimento dell’uso di qualche modello linguistico, e arxiv ha dovuto introdurre dei limiti al numero di pubblicazioni che è possibile caricare mensilmente.
• Il 21 settembre OpenAI comunica che il loro nuovo modello privato “ha già risolto più di 100 problemi aperti che coprono la gran parte delle discipline matematiche”, e sta pensando a come comunicare questi risultati in maniera “responsabile”. Questo parziale cambio di atteggiamento potrebbe essere dovuto in parte a una lettera aperta pubblicata l’11 settembre e sottoscritta da 25 medaglie Fields (!) in cui si obietta all’uso strumentale della soluzione di problemi aperti come benchmark per le abilità dei modelli linguistici.
• Mentre stavo preparando questo articolo (7 ottobre) OpenAI ha pubblicato l’anticipata messe di risultati (Peter Woit l’ha chiamata slopocalypse, l’apocalisse della sbobba). A una prima rapida analisi, sembra una replica dello schema già visto per Navier-Stokes: una marea di PDF generati dall’IA, presumibilmente senza alcuna revisione umana, a volte (ma non sempre) accompagnati da una dimostrazione formalizzata dello stesso risultato.

Cosa pensare di questi sviluppi? In questo post cercherò di mettere in fila qualche riflessione che ho avuto modo di compiere sull’argomento negli ultimi tempi, stimolato dai vari pareri che ho letto in giro per la rete.

Far finta di niente non è possibile

Anzitutto è chiaro che questi sviluppi non possono essere semplicemente ignorati. I modelli linguistici di ultima generazione esistono, e chi li usa ha (attualmente) un vantaggio competitivo enorme rispetto a chi non li usa. Mi lasciano perplesse le posizioni di chi, come Vladimir Lazić e altri, pensa di poter far finta di niente e tirare avanti come se nulla fosse. Questa posizione è doppiamente perdente: perché è fuori dal tempo, e perché con la struttura attuale degli incentivi accademici porta a una inesorabile marginalizzazione. Non è detto che gli incentivi non cambieranno (vedi più avanti), ma occorrerà combattere perché ciò accada e la naturale conservatività delle istituzioni umane (università compresa) non lascia pensare che ciò avvenga in tempi rapidi.

Come siamo arrivati a questo punto

A cosa è dovuto il progresso spaventoso che abbiamo osservato negli ultimi mesi? Premesso che ormai da un paio di anni nessuno sa davvero come funzionano i modelli linguistici di punta delle aziende statunitensi (che di fatto non pubblicano più le loro attività di ricerca), il consenso attuale è che l’enorme successo degli LLM sia dovuto essenzialmente a tre fattori, strettamente correlati tra loro: la capacità dell’hardware di esecuzione (GPU, memoria, ecc.), le dimensioni del modello (numero di parametri), e la quantità di dati usati per l’addestramento. Più potente è l’hardware e più testi si hanno, più grande puoi fare il modello, e migliori saranno le performance finali. Su tutti e tre questi versanti c’è stato un progresso enorme nell’arco dell’ultimo anno.

Anzitutto la disponibilità di hardware delle compagnie di IA è aumentata a dismisura: non è un mistero come ormai l’intera produzione di GPU di punta da parte di Nvidia e simili venga interamente assorbita dalle aziende di IA, come pure la stragrande maggioranza della produzione dei chip di memoria (tanto da creare enormi problemi per il mercato consumer). È stato stimato che solo quest’anno negli USA saranno investiti tra i 600 e gli 800 miliardi di dollari nella costruzione di nuovi data center.

In secondo luogo, c’è stato sicuramente un progresso enorme nella pulizia dei dati: i primi modelli venivano addestrati usando dei corpus ottenuti sostanzialmente scaricando la totalità delle pagine Internet pubblicamente accessibili (es. CommonCrawl), e se avete presente la qualità media del contenuto di un sito web capirete bene come in questi dataset finisse di tutto e di più. Addirittura fino a qualche anno fa era un problema persino l’estrazione del testo dai PDF (ad es. nel caso di PDF su due colonne, come accade per molti articoli scientifici, il testo veniva spesso estratto riga per riga, mischiando quindi il contenuto delle due colonne). Possiamo tranquillamente assumere che i modelli odierni siano addestrati su documenti di qualità ben più elevata, ottenuti o direttamente dagli editori (riviste scientifiche, ecc.) o per scansione diretta di libri (anche se molti se ne sono accorti solo qualche mese fa).

Ci sono infine tutta una serie di innovazioni tecniche che non cambiano l’architettura di base dei modelli (che dovrebbe essere sempre quella del transformer; bisogna usare il condizionale perché, come detto, né OpenAI né Anthropic pubblicano più i dettagli tecnici dei loro modelli da anni) ma rendono più efficaci alcune fasi del processo. Una delle innovazioni più rilevanti sembra essere il cosiddetto Reinforcement Learning with Verifiable Rewards (RLVR), che consente di guidare la fase di addestramento verso un obiettivo misurabile quantitativamente; nel caso delle applicazioni alla matematica, l’obiettivo è presumibilmente quello di produrre ragionamenti corretti (cosa su cui i modelli linguistici hanno sempre lasciato un po’ a desiderare, nonostante l’introduzione delle cosiddette chain of thought). Per questo step è essenziale avere a disposizione un meccanismo per valutare la bontà delle risposte prodotte dal modello; è per questo che il RLVR sembra ottenere risultati particolarmente buoni nel campo delle scienze formali come l’informatica e la matematica, in cui è possibile controllare la correttezza di un programma (o di una dimostrazione formalizzata) in maniera relativamente rapida e poco onerosa.

L’analogia con i calcolatori è sbagliata

Un’analogia che si vede circolare parecchio è quella con l’avvento dei calcolatori elettronici nella seconda metà del secolo scorso, che ha completamente obliterato la necessità per gli esseri umani di fare calcoli (non guasta ricordare che fino agli anni ’60 il termine computer designava primariamente i “calcolatori umani”). Questa analogia è fuorviante per più ragioni. In primo luogo, fare matematica non significa fare calcoli, o meglio: l’aspetto calcolistico è l’aspetto più noioso del fare matematica. Per questo nessuno si è lamentato quando sono stati introdotti i calcolatori elettronici, che anzi sono stati subito riconosciuti come uno strumento importante, in grado di facilitare il lavoro e favorire l’esplorazione di nuove strade. Togliendo i calcoli alla matematica restano le parti divertenti: la scoperta di nuove regolarità, la messa a punto di nuovi strumenti o teorie e la dimostrazione della loro correttezza. Ma se automatizzi anche queste parti con gli LLM, cosa resta?

La seconda grossa differenza è che la meccanizzazione dei calcoli li rende enormemente più affidabili: gli esseri umani hanno noti limiti nella capacità di seguire procedure per lungo tempo e oltre una certa soglia di complessità senza introdurre errori, mentre un calcolatore correttamente programmato è essenzialmente infallibile (salvo errori hardware, che comunque si possono anch’essi tenere sotto controllo). Com’è noto, questo non è affatto vero per gli LLM, che sono proni ad allucinazioni ed estrapolazioni indebite nei testi che generano (trattandosi in fondo di semplici modelli statistici, privi di aggancio col contenuto semantico dei testi che generano). Allo stato attuale dell’arte, non è semplicemente possibile fidarsi dell’output di un LLM nella stessa maniera in cui ci fidiamo, ad esempio, del risultato dell’integrazione numerica di un sistema di equazioni differenziali che ci assicura che un ponte non crolli. L’unica garanzia affidabile è la produzione di una dimostrazione formalizzata, quando c’è; e anche in tal caso occorre sempre verificare che il modello non abbia “barato” in qualche modo (come sono già stati notati fare in altri ambiti, ad es. nella programmazione).

I problemi che la situazione attuale risolve

Detto tutto ciò, è innegabile che siamo di fronte a un passo avanti epocale. Lasciamo pure perdere la questione se questi modelli siano davvero in grado di “comprendere” o di “pensare”; in fondo è sempre la solita discussione dai tempi di Turing. Focalizziamoci invece su quello che questi modelli fanno, e su come usarli al meglio.

Come osservato da Kevin Buzzard (in un articolo che, detto per inciso, non condivido al 100%), il punto su cui dobbiamo concentrarci è che abbiamo creato uno strumento in grado di memorizzare l’intero corpus di conoscenze matematiche creato dall’umanità e di manipolarlo in maniera coerente rispondendo a richieste espresse in linguaggio naturale. Anche solo cinque anni fa un risultato del genere sarebbe sembrato fantascienza. Sono tanti i modi in cui questi modelli possono aiutarci; ne elenco tre, ma si potrebbe andare avanti a lungo.

1. Gestione della letteratura. Un problema enorme, e che si è andato aggravando negli ultimi anni, è dato dalle dimensioni ormai sovrumane della letteratura matematica. Si dice spesso che l’epoca in cui una singola persona poteva tenere dietro a tutti gli sviluppi della disciplina è finita con Eulero e Gauss; ma l’esplosione della ricerca degli ultimi decenni, unita al progressivo aumento nella sofisticazione dei metodi, ha fatto sì che ormai sia impossibile restare aggiornati persino nei singoli campi. Strumenti che vengono sviluppati in un ramo potrebbero essere utilissimi in altri, se solo i ricercatori li conoscessero. Gli LLM attuali sono addestrati (quasi) sull’intero scibile umano, e possono quindi fornire un aiuto essenziale in questo senso.
2. Verifica dei risultati noti. Non è un mistero il fatto che una frazione non insignificante di articoli pubblicati contiene errori più o meno gravi. Grazie agli LLM di ultima generazione sembra per la prima volta fattibile l’idea di prendere gli articoli più importanti di un dato ramo della matematica e tradurre le relative argomentazioni informali in dimostrazioni formali la cui correttezza è garantita oltre ogni ragionevole dubbio (le aziende di IA chiamano questo processo autoformalizzazione). Una simile impresa, se condotta su grande scala, aumenterebbe immensamente la fiducia nella correttezza dei risultati noti in letteratura (specialmente per i più complessi e/o controversi).
3. Automazione delle dimostrazioni di routine. Ovviamente non tutte le dimostrazioni sono divertenti da fare, anzi; molte sono una semplice applicazione di tecniche già note a situazioni leggermente diverse. Automatizzare questo lavoro “di routine” lascerebbe più tempo per lavorare alle fasi genuinamente inventive della ricerca.

Più in generale, anche solo avere a disposizione in ogni momento un “partner virtuale” con cui fare brainstorming su un problema che ci sta bloccando sembra essere qualcosa di molto utile.

I problemi che la situazione attuale crea

Ma se la situazione è questa, perché la gran parte dei matematici di tutto il mondo è sconvolta e/o sul piede di guerra da settimane? C’è sicuramente in tutto ciò un minimo di effetto “caduta dall’Olimpo”: l’idea che un software, per quanto complesso, sia in grado di produrre catene di ragionamenti che fino ad ora erano esclusivo dominio della mente umana è senza dubbio fonte di riflessione. Ma a parte le tematiche esistenziali, c’è anche una serie di problemi più seri che hanno a che fare in parte con le circostanze attuali e in parte con problemi di fondo.

• Accessibilità dei modelli. Il primo elefante nella stanza è senz’altro questo: i modelli che OpenAI ha usato e sta usando non sono pubblici, e non è chiaro se e quando lo diventeranno. Questa situazione crea, di fatto, uno squilibrio enorme: un numero ridotto di persone che lavora ad OpenAI (e in misura minore ad Anthropic) dispone in questo momento di una “potenza di fuoco” argomentativa vastamente superiore a quella di ogni altra persona al mondo. Questo, unitamente a un “culto della competizione” che, piaccia o non piaccia (a me non piace), ha sempre fatto in qualche misura parte della mentalità dei matematici, ha creato grande scontento e una diffusa ostilità verso OpenAI (anche al di là di quanto accaduto in dettaglio nel caso Navier-Stokes). Naturalmente questa problematica si riallaccia al discorso ben più generale sul controllo globale dell’intelligenza artificiale.
• Scarsa qualità dell’output. Un altro problema è che, come già emerso tra le righe in questo post, se si vanno a vedere i documenti finali che vengono effettivamente prodotti da questi modelli (anche i più avanzati, come quello “segreto” di OpenAI) si trova che essi lasciano alquanto a desiderare. Gli enunciati dei teoremi usano spesso notazioni confuse, o non-standard, o sottilmente imprecise; gli argomenti sono difficili da seguire anche per gli specialisti, e talvolta sembrano più complicati del necessario. C’è un motivo, insomma, se Alpöge e Buckmeister hanno passato settimane a lavorare sulle loro dimostrazioni prima di renderle pubbliche obtorto collo. Vedremo come saranno ricevuti i nuovi PDF di OpenAI appena diffusi, ma nulla fa pensare che siano migliori di quanto visto finora.
• Occultamento delle fonti. È ormai noto che gli LLM non eccellono nel tenere traccia e segnalare le fonti che usano nel loro ragionamento. Non è chiaro in che misura questo sia un problema strutturale oppure indotto dalle procedure di addestramento attualmente utilizzate; ma come già ampiamente osservato in ambito software, l’IA generativa non si fa problemi a riprodurre interi pezzi del suo materiale di addestramento senza alcuna attribuzione della fonte originale. Il paper di OpenAI sul problema di Navier-Stokes è emblematico: è lungo 166 pagine e ha un totale di 22 citazioni (compresa quella al sito del Clay Institute per l’enunciato del problema).
• Lo spettro dell’inutilità. Ma supponiamo che tutti questi problemi siano solo temporanei. Supponiamo che tra sei mesi, o un anno, siano generalmente disponibili modelli specializzati nel ragionamento matematico, in grado di produrre prosa di buona qualità, inserendo le corrette citazioni alle fonti, e una parallela formalizzazione che passa il vaglio di un proof checker. Si può presumere che a questo punto in molti inizino a chiedersi che senso abbia continuare a mantenere dei dipartimenti di matematica pieni di ricercatori la cui attività può essere sostituita da un abbonamento a OpenAI che costa una frazione del loro stipendio mensile. A poco varrebbe obiettare che i modelli non “capiscono” ciò che producono; in una visione puramente utilitaristica della matematica, l’unica cosa che conta è essere in grado di rispondere a una domanda in un senso o nell’altro, e conoscere il perché di quella risposta è un optional del tutto superfluo.

Serve un nuovo approccio alla ricerca

Che morale trarre da tutto questo? Un primo punto, che è stato evidenziato da diversi commentatori, è che gli attuali standard di valutazione della ricerca accademica sembrano superati. In un mondo in cui una conoscenza anche superficiale di un argomento, accoppiata all’uso di un modello linguistico di ultima generazione, permette di produrre nel giro di qualche giorno (o ora) di lavoro un articolo dignitoso su quell’argomento, le valutazioni basate sul numero di pubblicazioni prodotte sembrano perdere di senso. (Non che ne avessero molto anche prima, visto che anteponendo la quantità alla qualità portavano a tutti quegli incentivi perversi che ben conosciamo.)

Quello a cui occorre dare priorità, secondo me, è proprio quello che gli LLM non ci possono dare (almeno al momento), cioè la comprensione di questa marea di nuovi risultati (e una migliore comprensione dei risultati già noti). Questa consapevolezza sta già percolando in vari ambiti: ad esempio la Mathathon, un evento che era stato ideato come una sorta di gara a chi risolve più problemi con l’aiuto degli LLM, è stata rimodulata proprio in questa direzione. Per il problema dell’accesso ai modelli, una proposta interessante che è stata avanzata è la creazione di modelli di IA pubblici, sviluppati direttamente da una comunità scientifica e a disposizione di chiunque ne accetti le regole.

Quella dell’inutilità è una questione complessa. Alcuni sostengono che, a patto di tenere al centro l’obiettivo della comprensione umana, la rivoluzione dell’IA porterà a più posti di lavoro, non a meno; ma per come la vedo io, il problema sta esattamente nella premessa. La comprensione, o in generale la fioritura umana, non è un obiettivo del capitalismo; e possiamo quindi aspettarci che, in tutti gli ambiti dove il capitalismo domina, l’automazione prenderà inesorabilmente il sopravvento. Almeno nel campo dell’educazione saremo in grado di evitare questo destino?

Al di là dei risvolti più buffi della vicenda (ad esempio Wikipedia ricorda che si rese necessaria una campagna di invio postale di massa di floppy disk contenenti un font personalizzato per la resa del simbolo alle agenzie di stampa — siamo nel 1993, dopotutto…), la cosa che viene sottolineata da tutti è che la mossa fu un sostanziale fallimento, perché nessuno aveva idea di come pronunciare il nuovo nome. Il risultato fu che molti continuarono a chiamarlo Prince, altri si organizzarono con un più burocratico “the artist formerly known as Prince” (da cui l’inevitabile acronimo TAFKAP), parodiato un po’ da chiunque all’epoca (Elio e le store tese compresi), alcuni fan iniziarono a chiamarlo semplicemente “The Artist”.

Ora, se Prince avesse scelto come nuovo nome una semplice sequenza di lettere, diciamo “Ripcen”, il problema relativo alla pronuncia non si sarebbe posto, almeno in questi termini: infatti le lettere di un alfabeto portano già in sé un valore fonetico (pur se con qualche ambiguità). Certo, si può mettere l’accento tonico sull’una o sull’altra vocale, pronunciare le consonanti in maniera un po’ diversa, ecc.; ma in qualche modo una pronuncia viene fuori quasi automaticamente dalle regole della lingua. È stato il fatto di aver usato un simbolo estraneo all’alfabeto inglese che ha rotto questo legame implicito.

In termini puramente semiotici (la scienza che studia i segni e la loro associazione a un significato), la mossa di Prince non era sbagliata: sin da Aristotele abbiamo capito che i nomi sono associazioni arbitrarie tra un segno e un oggetto, e quello che Prince ha fatto è stato dire «d’ora in poi non usate più il vecchio segno (la parola “Prince”, per l’appunto) per riferirvi a me, ma usate invece questo simbolo». Il problema non stava nel cambio di associazione tra significante e significato, ma nel fatto che il nuovo significante era un segno puramente grafico (di fatto un logogramma), privo di pronuncia. Per rendere davvero efficace l’operazione, Prince avrebbe dovuto completare il discorso dicendo «…questo simbolo che si pronuncia così:», seguito dalla pronuncia voluta (o da una trascrizione IPA nel caso di dichiarazione a mezzo stampa).

Per inciso, tutto questo casino si era reso necessario perché la parola “Prince” era diventata un marchio registrato della Warner, per cui Prince (la persona) non poteva legalmente pubblicare dischi sotto questo nome senza l’avvallo della Warner. La cosa diventa ancora più surreale se si pensa che Prince era effettivamente il suo vero nome di battesimo (si chiamava infatti Prince Rogers Nelson). Di fatto Prince, firmando il contratto con la Warner, era stato espropriato del suo stesso nome. Chissà cosa ne avrebbe detto de Saussure?

Ne segue la ben nota tendenza ad accogliere ciarpame di ogni genere, che fa bella mostra di sé ad ogni successiva esecuzione di ls. Ma come dovrebbe essere una home “ben tenuta”? Secondo me, le regole di base sono due:

• niente file (o il minimo indispensabile), solo directory, e
• un massimo di 10/12 elementi, in modo da non superare le due/tre righe di output di ls (in un terminale di dimensioni sensate).

Purtroppo, la recente evoluzione delle distribuzioni Linux sta andando decisamente contro a questo mio ideale di ordine. Ecco infatti come appare la home directory di un sistema appena installato:

Non abbiamo nemmeno iniziato a caricare i nostri dati che già l’installer ha “opportunamente” pensato di creare una manciata di cartelle di dubbia utilità. Il problema è che queste cartelle non si possono semplicemente cancellare, perché sono memorizzate come percorsi di default per certe applicazioni che quindi, non trovandole, potrebbero giustamente lamentarsi o, peggio ancora, ricrearle autonomamente ogni volta.

Che fare, dunque? La mia personalissima analisi di queste cartelle di default è la seguente:

• Desktop: questa me la devo tenere, anche se personalmente la uso pochissimo (che senso ha mettere delle icone in un posto che è quasi sempre coperto al 90% dalle finestre?), ma il window manager la tratta in maniera speciale e non sarebbe opportuno unirla a un’altra
• Documents: magari a qualcuno serve, per me è totalmente inutile (i miei documenti li organizzo come credo io, non certo mettendo tutto in un’unica directory); una pessima scoppiazzatura dal mondo Windows
• Downloads: questa è effettivamente una buona idea, mettere di default i file scaricati qui contribuisce ad evitare l’effetto “ciarpame nella home” menzionato sopra
• Music, Pictures, Videos: anche queste sono utili per fare ordine, volendo si potrebbero unire in un’unica cartella “Media” ma a volte è meglio averle separate (ad es. per le ricerche su un solo tipo di media)
• Public: totalmente inutile se non avete condivisioni di rete
• Templates: non uso programmi che sfruttino questa directory, quindi inutile anch’essa

Riassumendo, almeno 3 cartelle su 8 sono del tutto inutili, e sarebbe bello liberarsene. Come fare? La chiave sta nel file .config/user-dirs.dirs, che contiene l’associazione tra i “ruoli” che queste directory svolgono nel sistema e il loro percorso su disco. Fortunatamente non è necessario che questa associazione sia biunivoca, quindi è possibile far svolgere a un’unica directory più ruoli. Ad esempio per unificare Documents e Downloads basta modificare il file summenzionato come segue:

XDG_DOWNLOAD_DIR="$HOME/Downloads"
XDG_DOCUMENTS_DIR="$HOME/Downloads"

oppure, per unificare Music, Pictures e Video nell’unica cartella Media:

XDG_MUSIC_DIR="$HOME/Media"
XDG_PICTURES_DIR="$HOME/Media"
XDG_VIDEOS_DIR="$HOME/Media"

Se infine vogliamo solo nascondere una cartella che non ci serve (ad es. Public) in modo tale che non appaia più nell’elenco dei file, ma senza identificarla con altre, la soluzione migliore è rinominarla in modo tale da farla diventare nascosta (ad es. da Public a .Public), e modificare di conseguenza la linea corrispondente:

XDG_PUBLICSHARE_DIR="$HOME/.Public"

Niente male, no? In questo modo abbiamo subito una home molto più ordinata, e possiamo procedere a riempirla senza remore con le nostre schifezze.

Ma parlando di schifezze… cos’altro c’è nella home di un sistema appena installato? Nient’altro di visibile, d’accordo, ma che dire dei file nascosti? Sarà l’argomento della prossima (e ultima…) puntata!

Eh no cari miei: in uno scontro diretto le reti contano doppio (ogni rete fatta dall’Italia è una rete incassata dalla Norvegia), quindi per qualificarsi occorrerebbe “”semplicemente”” vincere con nove gol di scarto (il che porterebbe l’Italia a +21 e la Norvegia a +20). Non che questo aumenti di molto le nostre possibilità, comunque…

Il punto di partenza è, come sempre in questi casi, del tutto elementare. Dato un numero naturale \(n\), consideriamo la somma delle sue cifre (decimali); otteniamo così un nuovo numero naturale \(s(n)\) che è sempre minore o uguale a \(n\). Ad esempio se \(n = 274\) abbiamo

\(s(n) = 2+7+4 = 13\)

Possiamo anzi dire di più: risulta \(s(n) = n\) se e solo se \(n\) consiste di una singola cifra, dato che in caso contrario \(n\) contiene (almeno) un’altra cifra maggiore di zero il cui valore posizionale è maggiore del valore effettivo (decine, centinaia, etc.), e quindi è necessariamente \(s(n) < n\). (Non è restrittivo considerare solo sviluppi decimali ben formati, cioè che non contengono zeri in posizione iniziale: insomma, scrivere 007 invece di 7 non vale, con buona pace di eventuali agenti segreti in ascolto.)

Abbiamo quindi un’operazione (unaria) \(s\) definita su \(\mathbb{N}\) che ha un certo insieme di punti fissi (ovvero i dieci numeri di una cifra, da 0 a 9) ed è strettamente decrescente su tutti gli altri numeri. Ne segue che, per qualunque numero di partenza \(n\in \mathbb{N}\), l’applicazione ripetuta di \(s\) a \(n\) converge in un numero finito di passi a uno dei punti fissi, cioè a un numero di una cifra. Il numero di passi necessario perché questo accada si dice la persistenza additiva di \(n\), mentre il risultato finale (il punto fisso a cui si converge) è detta la sua radice numerica (digital root in inglese).

Nell’esempio precedente abbiamo che \(s(274) = 13\), che ha ancora due cifre; dobbiamo quindi iterare il procedimento per ottenere \(s(13) = 4\), che è punto fisso (\(s(4) = 4\)). Ne concludiamo che \(274\) ha persistenza additiva 2, e la sua radice numerica è 4.

Tutto ciò potrebbe riportarvi alla mente dei vaghi ricordi scolastici collegati al concetto di “criteri di divisibilità”; questo perché la radice numerica di un numero \(n\) coincide sempre con la classe di resto della divisone di \(n\) per 9, e in particolare è 9 (o 0) se e solo se \(n\) è divisibile per 9. Ne segue che calcolare la radice numerica di \(n\) è un modo rapido per verificare se \(n\) è divisibile per 9. La celebre (e spesso citata a sproposito…) prova del nove si basa sulla medesima proprietà.

Quanto alla persistenza additiva, invece, salta fuori che calcolarla senza usare il processo iterativo che la definisce è un problema tutt’altro che facile: da una breve ricerca in rete non ho trovato riferimenti a formule chiuse, solo a tabelle (e qui si distingue come al solito per completezza la OEIS). Ci possiamo però porre domande di altro tipo: ad esempio, dato \(k\in \mathbb{N}\), qual è il minimo numero naturale \(m_{k}\) che ha persistenza pari a \(k\)? La risposta è facile per \(k\leq 1\): siccome i numeri che hanno persistenza zero sono esattamente quelli di una cifra, abbiamo che \(m_{0} = 0\) e \(m_{1} = 10\) (minimo numero naturale di due cifre). Quanto ai numeri di persistenza due, ci si rende conto abbastanza in fretta che fino a 18 la persistenza resta uno, mentre \(s(19) = 10\) che ha già persistenza uno, quindi 19 è il minimo numero naturale di persistenza 2.

In generale, l’idea di considerare numeri con “tanti 9” sembra buona: se vogliamo massimizzare una somma, tanto vale massimizzare separatamente ciascun addendo. Ma numeri della forma 99…9 non funzionano: ad esempio abbiamo che \(s(99) = 18\), e ci manca una unità per raggiungere il primo numero di persistenza due (che abbiamo già visto essere 19). Dobbiamo insomma aggiungere (almeno) un 1, e il posto più logico per farlo è come cifra più significativa, visto che vogliamo il minore numero di persistenza data. E infatti risulta

\(s(199) = 19\),   da cui   \(s(s(199)) = 10\)   e   \(s(s(s(199))) = 1\),

quindi 199 ha persistenza tre e nessun’altro numero minore di esso ha questa proprietà; ne concludiamo che \(m_{3} = 199\). La successione degli \(m_{k}\) inizia quindi così:

\(0, 10, 19, 199, \ldots\)

A questo punto potreste essere tentati di congetturare che \(m_{k}\) sia sempre dato da un 1 seguito da \(k-1\) nove, ma sarebbe una generalizzazione decisamente affrettata! Si vede subito infatti che

\(s(1999) = 28\)   e   \(s(28) = 10\),

quindi 1999 ha ancora persistenza tre, esattamente come 199. Il punto è che la lunghezza della stringa di 9 deve ovviamente crescere all’aumentare di \(k\), ma questa crescita dev’essere necessariamente (molto) più che lineare, perché la loro somma deve dare luogo a una successione \(m_{k}\) che cresce a sua volta in maniera più che lineare. (Confusi? Tra qualche minuto sarà tutto un po’ più chiaro, almeno spero.)

Ma quindi quanti 9 ci vogliono? Cerchiamo di impostare il problema in maniera un po’ più strutturata. Anzitutto è chiaro dagli esempi visti fino a qui (e non è difficile dimostrare rigorosamente) che il minimo numero di persistenza \(k+1\) è quello la cui somma delle cifre dà esattamente \(m_{k}\), ovvero il minimo numero di persistenza \(k\). Stiamo cioè cercando i termini di una successione che è caratterizzata da una relazione ricorsiva implicita della forma seguente:

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = 10\\ s(m_{k+1}) = m_{k} \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\qquad (\dagger)\)

(non si tratta di una vera e propria definizione per ricorsione perché nell’ultima riga il termine \(m_{k+1}\)  compare “imprigionato” come argomento di una funzione non invertibile, dalla quale quindi non è “liberabile” in maniera unica). Abbiamo anche già una congettura su come dev’essere fatto ciascun numero \(m_{k}\) (almeno per \(k \geq 2\), che è il caso che ci interessa): deve avere come cifra iniziale 1 seguito da una stringa di 9 di una certa lunghezza, chiamiamola \(\ell_{k}\). Più formalmente possiamo scrivere

\(m_{k} = 2\cdot 10^{\ell_{k}} – 1 \qquad (\ast)\)

infatti la sottrazione di una unità trasforma ciascuno zero in \(2\cdot 10^{\ell}\) in un nove, e come tutti sanno il numero \(10^{\ell}\) ha esattamente \(\ell\) zeri. Basta quindi determinare la successione degli \(\ell_{k}\) e il problema è risolto.

Ora, usando questa congettura è facile calcolare la somma delle cifre di \(m_{k+1}\): risulta

\(s(m_{k+1}) = 1 + 9\ell_{k+1}\)

D’altro canto la terza riga della \((\dagger)\) ci dice che questa stessa somma deve coincidere con \(m_{k}\), e sostituendo l’espressione \((\ast)\) otteniamo la relazione di ricorrenza

\(1 + 9\ell_{k+1} = 2\cdot 10^{\ell_{k}} – 1\)

che, questa sì, può essere risolta per \(\ell_{k+1}\), ottenendo

\(\ell_{k+1} = 2(10^{\ell_{k}} – 1)/9 \qquad (\circ)\)

con valori iniziali \(\ell_{2} = 1\) e \(\ell_{3} = 2\) che derivano dai casi facili che abbiamo fatto “a mano” in precedenza. Da qui vediamo ad esempio che risulta \(\ell_{4} = 2(10^{2} – 1)/9 = 22\), quindi il minimo numero di persistenza 4 ha come sviluppo decimale un 1 seguito da ventidue nove (!). Altro che 1999…

In effetti la formula \((\circ)\) rende evidente come la crescita della successione \(\ell_{k}\) sia addirittura di tipo superesponenziale: infatti il termine precedente della successione compare come esponente di un fattore 10, quindi ad ogni incremento dell’indice \(k\) si ottiene una “torre” di esponenziali sempre più alta. (Qui ci starebbe bene un aggancio con la tetrazione, ma inizia a farsi una cert’ora…)

Possiamo anche ottenere una relazione di ricorsione chiusa per la successione \(m_{k}\): basta notare che la \((\ast)\) ci dice che \(m_{k+1} = 2\cdot 10^{\ell_{k+1}} – 1\), e sostituendo l’espressione di \(\ell_{k+1}\) data dalla \((\circ)\) si ha

\(m_{k+1} = 2\cdot 10^{2(10^{\ell_{k}} – 1)/9} = 2\cdot 10^{(m_{k}-1)/9}\)

dove nel secondo passaggio abbiamo usato ancora una volta la \((\ast)\). Abbiamo quindi in definitiva

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = 10\\ m_{k+1} = 2\cdot 10^{(m_{k}-1)/9} – 1 \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\)

Anche questa successione è contemplata dalla OEIS (A006050), ma persino Neil Sloane si è dovuto arrendere davanti alla crescita superesponenziale: l’ultimo termine che riporta esplicitamente infatti è \(m_{4} = 19999999999999999999999\), e al posto dei termini successivi c’è il laconico commento

The next term a(5) is 1 followed by 2222222222222222222222 9’s.

Un’ultima considerazione è di rigore. Come in tutti i ragionamenti che coinvolgono lo sviluppo decimale di un numero naturale, alla fine resta un po’ la sensazione di aver fatto della semplice numerologia, priva di significati aritmetici più profondi. Possiamo rendere il discorso un po’ più “canonico” generalizzando il tutto dalla base 10 a una qualunque base positiva \(b > 1\). Vi risparmio tutta la tiritera e passo direttamente al risultato finale, che in questo caso si scrive

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = b\\ m_{k+1} = 2\cdot b^{(m_{k}-1)/(b-1)} – 1 \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\)

In particolare per \(b=2\) risulta semplicemente

\(m_{k+1} = 2^{m_{k}} – 1\)

La successione così definita, targata A007013 nella OEIS, è nota anche come  “numeri di Catalan-Mersenne” e, sorprendentemente, salta fuori in alcune congetture sui numeri primi. Visto che alla fine anche la matematica ricreativa può portare a problemi interessanti?

Possibile che (1) nell’era dei LLM ci siano ancora traduzioni dall’italiano all’inglese fatte a caso, e (2) in tutta la TT non ci sia nessuno che conosca l’inglese e si sia accorto dell’obbrobrio?

Rimango sempre affascinato da come i giganti informatici del XXI secolo come Google Alphabet siano in grado di sviluppare software enormemente complessi (e che funzionano generalmente bene) in cui però anche l’effettuare correttamente una innocua sottrazione si può rivelare, talvolta, un problema insolubile.

Non sono necessarie, né desiderate, attribuzioni; tecnicamente, questo post è soggetto a licenza CC-0.

<name> is (an independent researcher | <position> at <employer>), specializing in <topic>*. (He|She) received (his|her) PhD in <academic_area> at <university> in <year>.
(He|She) has been (<position> at <employer>)*.
(His|Her) research focuses on (<topic> [, with special emphasis on <subtopic>])*. [(His|Her) interests also include <topic>*.]
[(He|She) is a member of (<group> at <institution>)* [and currently leads <project>*].]
(He|She) has (a substantial record of | more than <n>) publications in peer-reviewed journals and presented at (numerous | more than <n>) (top-tier | international) conferences.
[(He|She) has received <award>* and was the recipient of <fellowship>*.]
[(He|She) chaired <committee>* and sits on the Editorial Board of <journal>*.]
[(He|She) [co]founded (<startup> [that was acquired by <big_firm>])*.]

La formulazione delle sotto-grammatiche per i vari simboli terminali (<position>, <topic>, ecc.) è lasciata come esercizio al lettore.

Ma sto divagando. Dicevo, i blogroll non esistono più, e quindi tocca surrogarli mantenendo in proprio una lista di link a blog di interesse (magari tramite i relativi feed RSS, finché resistono…). Nella mia lista è presente da sempre il blog di Jamie Zawinski, ex programmatore (responsabile, tra le altre cose, delle prime versioni di Netscape Navigator, del mitico xscreensaver — a cui questo blog deve gli sfondi — e molto altro), nonché attuale proprietario di un dance club a San Francisco (!). Ed è proprio tramite il suo blog che sono venuto a conoscenza di questa straordinaria opera di Ben Grosser (quanto segue è solo un piccolo estratto, qui il PDF completo):

Zawinski chiama questo tipo di arte redaction poetry, che letteralmente sarebbe “poesia della censura”; sulla wikipedia in inglese si trova invece erasure poetry (“poesia della cancellatura”), o anche blackout poetry. Nell’articolo corrispondente, gli inizi di tale pratica si fanno risalire a tale Doris Cross, di cui si cita un’opera del 1965. Ma consultando la wikipedia in italiano si scopre che negli stessi anni anche Emilio Isgrò, a Milano, realizzava i primi esperimenti di arte della cancellatura. Ci saranno state delle influenze tra i due, o siamo di fronte a un caso in cui (come spesso accade, nell’arte come nella scienza) l’idea che porta a una nuova forma di espressione è concepita in maniera simultanea e indipendente da più soggetti?

Personalmente però la prima opera che associo alla cancellatura è Expédition nocturne n. 1 di Anna Rosa Gavazzi. Se state cascando dalle nuvole significa che avete la sventura di non aver mai visto una puntata di Passepartout, uno dei più riusciti programmi sull’arte della RAI, condotto dal compianto Philippe Daverio (che ci ha lasciato nel 2020). Nelle parti girate in studio, infatti, faceva bella mostra di sé, alle spalle di Daverio, una pagina di testo in francese in cui l’unica parte non cancellata era la frase «je dois apprendre aux curieux». Si tratta appunto dell’opera sopra citata, che riprende la prima pagina del libro Expédition nocturne autour de ma chambre dell’oscuro scrittore sabaudo Xavier de Maistre. Apprendo da questo articolo di Giuseppe Porrovecchio che la trasmissione venne chiusa nel settembre 2011 semplicemente perché non era realizzata in-house dalla RAI, e una sentenza della Corte di Cassazione aveva vietato l’acquisto di ogni tipo di produzione esterna. Come sempre succede in Italia, per evitare possibili danni erariali si preferisce vietare tutto a priori, e pazienza se trasmissioni di successo ne pagano le conseguenze. Come dicono gli americani, this is why we can’t have nice things.

Aggiornamento (8/11): quello che mi ero perso è che Marc Andreessen, l’autore del “manifesto” che ha fatto da base per il lavoro di Gosser, è stato a sua volta uno dei cofondatori di Netscape (e quindi collega di Zawinski), prima di darsi al capitalismo di rischio; il che aggiunge ulteriore ironia a tutta la storia…

(Secoli fa mi sono trastullato per un po’ con l’idea di iniziare una rubrica settimanale sul blog in cui ad ogni puntata presentavo uno dei miei dischi preferiti. Poi, ovviamente, non ho mai fatto nulla del genere. Chissà che, ora che ho una dozzina di anni in più sul groppone, non abbia finalmente maturato l’autodisciplina per portare avanti un progetto di questo tipo?)