La nascita della meccanica quantistica, parte 3: la meccanica delle matrici

Riassunto della puntata precedente: ci troviamo a Göttingen, intorno alla metà del luglio 1925, e il ventitreenne Werner Heisenberg ha appena consegnato al suo ex-supervisore e collega Max Born un manoscritto in cui, tra le altre cose, afferma che la dinamica di un atomo non deve essere descritta in termini di concetti quali posizione e velocità bensì tramite dei misteriosi insiemi di «ampiezze di transizione» tra stati energetici, e per giunta che date due di queste grandezze \(x\) e \(y\), il prodotto di \(x\) per \(y\) dà qualcosa di diverso dal prodotto di \(y\) per \(x\)! Born, che condivide con il suo allievo l’idea che nella fisica atomica sia necessaria una rivoluzione ed è lui stesso da più di un anno alla ricerca di una nuova Quantenmechanik, legge con attenzione quel manoscritto e capisce subito che esso rappresenta un passo importante sulla strada giusta.

Prima di proseguire il racconto, però, è opportuno approfondire per un momento la figura di Max Born, che può a buon diritto essere considerato un esponente di quella stirpe (oggi estinta) di “universalisti” in grado di portare contributi di grande valore in tanti rami diversi della fisica. Nato l’11 dicembre 1882 a Breslau (che oggi si chiama Wrocław e si trova in Polonia, ma in quel momento fa parte della Prussia) da una famiglia di solide tradizioni accademiche nel campo della medicina, il giovane Born fa capire subito di voler essere un degno erede quando, al primo anno di università, segue con disinvoltura corsi di matematica, fisica, chimica, logica, filosofia e persino zoologia. La sua materia preferita è però l’astronomia, tanto che a un certo punto diventa un frequentatore abituale dell’Osservatorio della città; ma l’ipotesi di diventare un astronomo viene scartata non appena si rende conto della quantità di noiosi calcoli numerici che la professione comporta (non credo ci sia bisogno di ricordare che nel 1901 non esistevano calcolatrici, al massimo i regoli calcolatori).

La svolta nella sua carriera universitaria arriva qualche anno più tardi quando, discutendo con alcuni suoi colleghi di corso (tra cui gente del calibro di Toeplitz e Hellinger), scopre che il posto dove andare in Germania per imparare la matematica è Göttingen, dove si trasferisce nel 1904. Qui giunto entra subito in contatto con Hermann Minkowski, grazie a un improbabile legame familiare (pare infatti che Minkowski e la matrigna di Born si conoscessero per aver frequentato anni prima il medesimo corso di ballo), e di conseguenza con il grande amico di Minkowski, David Hilbert, da cui riceve l’importante incarico di trascrivere gli appunti delle sue lezioni. Sfortunatamente i rapporti con il capo del dipartimento, Felix Klein, non sono altrettanto cordiali, in parte perché Born non è (diciamo così) un frequentatore assiduo delle sue lezioni; ma non essere nelle grazie di Klein rappresenta in quegli anni a Göttingen un discreto problema, perché l’esame di dottorato è tenuto, per la parte relativa alla geometria, proprio da Klein!

Fiutando una brutta aria, Born decide così di eliminare la geometria dal suo piano di studi sostituendola con l’astronomia, passione che aveva continuato a coltivare anche nella nuova università seguendo un corso tenuto da Karl Schwarzschild (sì, quello dei buchi neri). Grazie a questo escamotage il giorno dell’esame non si troverà più di fronte Klein ma lo stesso Hilbert, dal quale si reca qualche giorno prima con la speranza di avere qualche dritta. «In quale area della matematica ti senti meno preparato?» gli chiede Hilbert. «La teoria degli ideali» confessa Born, che si riferisce all’antenata di quella che oggi chiamiamo algebra commutativa. Hilbert fa un cenno di assenso e se ne va, e Born tira un sospiro di sollievo assumendo (come penso avrebbe fatto chiunque al suo posto) che il suo maestro non gli farà domande su quell’argomento. Il giorno dell’esame, però, tutte le domande di Hilbert sono di algebra commutativa! Alla successiva richiesta di chiarimenti, Hilbert candidamente spiega: «volevo solo capire quanto ne sai sulle cose di cui pensi di non sapere nulla». Decisamente, Hilbert era uno fatto alla sua maniera (e ne riparleremo in futuro).

Ad ogni modo l’esame è superato, e Born può così ricevere il dottorato (siamo nel 1906) con una tesi in cui risolve un problema di stabilità nella teoria dei mezzi elastici. Subito dopo è costretto a partire per il servizio di leva, durante il quale sviluppa un genuino disgusto per tutto ciò che ha a che fare con i militari; fortunatamente viene congedato dopo soli quattro mesi “grazie” ai suoi problemi di asma. Al suo ritorno si trasferisce per qualche mese a Cambridge dove rimane impressionato dalle lezioni di J. J. Thomson, lo scopritore dell’elettrone; nasce così in lui l’idea di abbandonare la matematica per la fisica, e addirittura di darsi alla fisica sperimentale. Tornato nella natia Breslau si dirige pertanto senza esitazioni all’istituto di fisica, che in quel momento è diretto da tal Otto Lummer, specialista nello studio della radiazione termica. Lummer accoglie il nuovo arrivato affidandogli un esemplare di “corpo nero”, che si rivela essere «un tubo di porcellana con un’attrezzatura per riscaldarlo, montato su di un tavolo con un fornello a gas e un sistema di raffreddamento ad acqua tutto attorno». La promettente carriera da sperimentale di Born è però destinata a interrompersi qualche giorno dopo, quando a seguito di un piccolo contrattempo con il sistema di raffreddamento il laboratorio viene completamente allagato.

Intuendo da questo episodio che quella sperimentale non è la sua strada, Born si dedica nuovamente agli studi teorici, e nel 1908 si imbatte nei recenti articoli di Einstein sulla relatività speciale, che lo affascinano immediatamente. Per chiarire alcuni punti a lui oscuri Born chiede aiuto al suo mentore Minkowski, che sa essere a sua volta molto interessato alla relatività. Quest’ultimo dal canto suo pensa bene di invitarlo a Göttingen per lavorare assieme sulla nuova teoria; purtroppo però l’improvvisa morte di Minkowski all’inizio del 1909 mette bruscamente la parola fine a questo progetto. Dopo qualche anno passato a riorganizzare e pubblicare i manoscritti sulla relatività lasciati incompiuti da Minkowski, nel 1912 comincia per Born una nuova fase della sua carriera scientifica allorché la stanza accanto alla sua della pensione in cui abita a Göttingen viene occupata da Theodore von Kármán, con il quale scriverà alcuni importanti lavori sulla dinamica dei solidi cristallini.

Nel 1914 arriva una chiamata dall’università di Berlino, che ovviamente Born accetta; qui conosce di persona Einstein, con cui stringe una profonda amicizia, e continua a produrre importanti lavori in fisica della materia e teoria cinetica. Nel 1919 accetta un posto da professore ordinario a Francoforte, dove in quegli anni opera Otto Stern; ha così modo di rimanere costantemente aggiornato sulle verifiche sperimentali della teoria dei quanti. Nel 1921 si materializza però l’occasione di tornare ancora una volta a Göttingen, dove gli viene offerta nientemeno che la posizione di direttore dell’istituto di fisica in sostituzione di Peter Debye, che si è appena trasferito all’ETH di Zurigo.

Sorprendentemente, all’inizio Born tentenna: non è sicuro di essere in grado di dirigere da solo un istituto così grande, soprattutto per quanto riguarda la parte sperimentale (forse ricordando i suoi disastrosi trascorsi di laboratorio). Durante una visita al ministero dell’istruzione a Berlino, però, Born si accorge di un particolare. Nel documento ufficiale riguardante la situazione dell’istituto di fisica di Göttingen sono elencate tre cattedre: quella “ordinaria” appena lasciata libera da Debye e altre due “straordinarie” occupate da Pohl e Voigt. Quest’ultimo era stato ordinario prima di Debye ma aveva scelto di andare in pensione nel 1914 (liberando così una posizione per il collega più giovane) mantenendo però un posto da professore “personale” valido fino alla sua morte, che era infine sopraggiunta qualche mese prima. Per l’errore di un copista, però, la dicitura «da eliminarsi alla morte dell’occupante» era stata inserita alla riga sbagliata, cosicché si riferiva in realtà alla cattedra di Pohl, in quel momento vivo e in ottima salute! Ricordando quella situazione molti anni dopo, Born dirà:

In genere non sono un tipo molto rapido ad approfittare delle occasioni, ma in quel caso lo fui.

È divertente immaginare Born che rampogna il solerte impiegato del ministero: «guardi meglio, le cattedre libere sono due, non una». In realtà, al ministero si rendono perfettamente conto che si tratta di un refuso; ma probabilmente si rendono anche conto dello stato misero in cui versa il sistema universitario tedesco dopo la prima guerra mondiale, e forse decidono che una posizione di professore in più in una delle università più prestigiose dell’epoca pre-bellica non può che migliorare la situazione. Com’è, come non è, i soldi per la seconda cattedra arrivano e Born suggerisce immediatamente di utilizzarli per chiamare il suo amico e coetaneo James Franck, a cui può demandare l’organizzazione del reparto sperimentale dell’istituto, accettando nel contempo il posto di direttore. In questo modo un po’ rocambolesco si forma l’accoppiata che guiderà la ricerca sulla teoria dei quanti a Göttingen fino alla grande diaspora del 1933.

Siamo così ritornati al punto di partenza, ovvero all’estate del 1925. Born, che a 43 anni è ormai una delle figure di riferimento della fisica teorica tedesca, si trova dunque tra le mani quel manoscritto che lui stesso definisce «molto mistico ma sicuramente corretto e profondo». Tra tutti i particolari (più o meno mistici) del lavoro di Heisenberg, quello che più colpisce Born è sicuramente la sua strana formula per il prodotto di due insiemi di ampiezze di transizione. Born è sicuro di aver già visto qualcosa del genere in passato, ma lì per lì non riesce a mettere a fuoco in quale occasione, e questo pensiero lo tormenta per diversi giorni (e notti). Finalmente, un mattino, arriva l’illuminazione: la misteriosa regola di Heisenberg non è altro che il prodotto “righe per colonne” tra matrici che gli era stato insegnato più di vent’anni prima, ai tempi degli studi universitari a Breslau, da tale Jacob Rosanes, maestro di scacchi e (particolare più rilevante in questa sede) valente algebrista, allievo del più famoso Ferdinand Frobenius. E qui è necessaria una piccola digressione.

Le matrici, intese come tabelle rettangolari di numeri utilizzate come ausilio per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari, erano note in Occidente sin dai tempi di Leibniz (fine ‘600); tuttavia esse vengono considerate come oggetti di studio in sé solo a partire dal 1858, anno di pubblicazione di una importante memoria sull’argomento scritta da Arthur Cayley. Nel 1925 dunque le matrici, e soprattutto l’algebra non commutativa che esse formano, sono una nozione relativamente nuova e sicuramente poco conosciuta, anche tra i matematici (e figuriamoci tra i fisici). Per uno studente di oggi, che magari le conosce sin dal liceo, è difficile pensare alle matrici come a un argomento esoterico; ma questa, come vedremo, era la percezione che si aveva a quel tempo.

Born è dunque uno dei pochissimi fisici dell’epoca ad avere una certa familiarità con questi oggetti, e intuisce subito che essi possono fornire una prima chiave per dissipare un po’ della mistica del lavoro di Heisenberg. Più in dettaglio, Born si accorge che introducendo due matrici \(q\) e \(p\) che corrispondono, rispettivamente, alla posizione e alla quantità di moto classiche, le condizioni di quantizzazione (nella forma datane da Heisenberg) si scrivono

\(\sum_{k} (p_{nk} q_{kn} – q_{nk} p_{kn}) = \frac{h}{2\pi i}\)

ovvero, si traducono nell’affermazione che le componenti diagonali della matrice \(pq – qp\) sono pari a \(\frac{h}{2\pi i}\). Ma che ne è degli elementi non diagonali? Ripercorrendo i passaggi dell’articolo di Heisenberg, Born ha l’impressione che l’unico valore sensato per tali elementi sia zero, il che porterebbe alla “strana” equazione

\(pq – qp = \frac{h}{2\pi i} I\)

ma non è in grado di darne una dimostrazione. Mentre è immerso in questi pensieri, il 19 luglio si reca ad Hannover per un congresso della società tedesca di fisica, dove incontra Pauli. Subito propone al suo ex studente di collaborare con lui al problema; ma Pauli, che come vedremo ha opinioni molto nette riguardo all’uso della matematica in fisica, rifiuta (nel pieno del suo stile) sarcasticamente:

Sì, so che tu hai una passione per i formalismi noiosi e complicati. L’unico risultato che otterrai sarà quello di rovinare le idee fisiche di Heisenberg con la tua inutile matematica.

Fortunatamente Born, una volta tornato a Göttingen, trova la persona giusta al momento giusto: il suo nome è Jordan, Pascual Jordan (da non confondersi con Camille Jordan, matematico francese celebre per aver dimostrato che una curva chiusa tracciata su un piano lo separa in due parti, e neanche con Michael Jordan, cestista americano celebre per aver dimostrato che è possibile vincere sei titoli NBA in otto stagioni saltandone una e mezza).

Ma chi è questo Pascual Jordan? Per scoprirlo dobbiamo tornare indietro di più di un secolo, allorquando tale Pascual Jorda, esponente di una famiglia nobile spagnola originario di Alcoy in Alicante, presta servizio da ufficiale di cavalleria agli ordini di Wellington nell’esercito della coalizione che combatte contro Napoleone. Dopo la definitiva sconfitta di quest’ultimo a Waterloo, Jorda viene ricompensato con delle terre ad Hannover, che in quel momento è controllata (e non per caso) dalla casa reale inglese. Jorda si trasferisce così con tutta la famiglia in Germania, dove cambieranno il cognome in Jordan (pronunciato alla tedesca, quindi “Iordan”) ma manterranno la tradizione secondo cui il primogenito di ogni generazione deve essere chiamato Pascual. Alla terza iterazione di questo algoritmo troviamo il Pasquale che interessa a noi.

Nato il 18 ottobre 1902, e quindi poco meno di un anno più giovane di Heisenberg, Jordan si iscrive all’università di Hannover nel 1921 con l’intenzione di perseguire una carriera scientifica, anche se non ha ancora scelto in quale campo; curiosamente, proprio come Born segue corsi che spaziano dalla matematica alla zoologia. Anche in questo caso, però, sarà determinante il suo trasferimento a Göttingen nel 1923, dove diventa assistente del matematico Richard Courant. In quel momento Courant sta lavorando alacremente al primo volume di quello che diventerà una classico della fisica matematica, il Courant-Hilbert, e accoglie con grande piacere le forze fresche portate dal nuovo arrivato; Jordan, dal canto suo, aiutando Courant ha la possibilità di assimilare velocemente un vasto patrimonio di conoscenze nei metodi matematici della fisica, tra cui l’algebra delle matrici. Nel frattempo comunque non trascura i suoi studi universitari, ottenendo il dottorato nel 1924 con una tesi sulla teoria cinetica dei gas di fotoni.

L’anno successivo Jordan diventa assistente di Born all’istituto di fisica; il primo progetto a cui si dedicano i due è una rivisitazione dei vecchi lavori di Planck sullo spettro del corpo nero da cui, 25 anni prima, era partito tutto. È in questa occasione che Born matura l’idea secondo cui le ampiezze di transizione possono giocare il ruolo di variabili dinamiche alla base della nuova meccanica; ma sarà Heisenberg a scoprire, nella maniera che sappiamo, il meccanismo con cui realizzare in concreto quest’idea. Il 20 luglio Born, che è appena tornato da Hannover dove ha dovuto incassare il rifiuto di Pauli a collaborare con lui, si rivolge al suo assistente e lo mette al corrente delle sue idee riguardo alla traduzione delle condizioni di quantizzazione di Heisenberg in termini di matrici. Jordan accetta immediatamente la sfida e nel giro di pochi giorni risolve, di fatto, il problema che gli era stato posto dimostrando che la matrice \(pq-qp\) può effettivamente essere presa diagonale, poiché tale condizione è compatibile con le equazioni del moto. Questo argomento, seppur non definitivo, è sufficiente perché Born si convinca di essere sulla strada giusta:

Non dimenticherò mai l’emozione che ho provato quando mi sono reso conto di essere riuscito a condensare le idee di Heisenberg sulle condizioni di quantizzazione nella misteriosa equazione \(pq – qp = h/2\pi i\).

I due si mettono immediatamente al lavoro per tradurre sistematicamente il lavoro di Heisenberg (che nel frattempo è partito per l’Inghilterra) nel nuovo linguaggio. Grazie all’abilità di Jordan nel calcolo matriciale, i risultati si susseguono uno dopo l’altro: la dimostrazione della validità del principio di conservazione dell’energia (che così tanto aveva preoccupato Heisenberg), la deduzione della formula di Bohr \(E_{n} – E_{m} = h\nu_{nm}\) per la frequenza di una transizione, e addirittura un primo tentativo di quantizzazione del campo elettromagnetico, anch’esso visto in termini di matrici. In tutti questi sviluppi Born gioca un ruolo sempre più marginale, tanto che a un certo punto se ne va proprio (resterà per un mese in vacanza a Silvaplana, in Val Engadina), lasciando al suo assistente la responsabilità di raccogliere i risultati ottenuti in un articolo. Visto che a Göttingen non c’è più nessuno (anche Heisenberg, di ritorno da Cambridge, è andato direttamente a casa sua a Monaco), a Jordan non resta altro da fare che tornarsene ad Hannover e dedicarsi anima e corpo alla stesura del manoscritto.

(Jordan ha però, all’insaputa di tutti i suoi colleghi, una seconda identità. In questi stessi anni in cui lavora alla nascente meccanica quantistica è anche autore, sotto pseudonimo, di bellicosi articoli di giornale dai toni fortemente nazionalistici, con appelli alla ricusazione del trattato di Versailles con i francesi e alla guerra contro i comunisti in Russia. Da questo punto di vista è difficile immaginare una differenza di vedute più grande rispetto a quelle di Born, che come abbiamo visto odiava qualunque cosa avesse a che fare con i militari. Queste idee politiche lo renderanno, negli anni successivi, una facile preda della propaganda nazista, tanto che si iscriverà al partito nel 1933 e diventerà addirittura una camicia marrone. Ma questa, come si suol dire, è un’altra storia, e non è questo il momento di raccontarla.)

Quando Born e Jordan si reincontrano a Göttingen a metà settembre, la bozza dell’articolo è pronta; Born ci dà una rapida occhiata e, senza perdere tempo, spedisce il tutto allo Zeitschrift für Physik mettendo come titolo un semplicissimo Zur Quantenmechanik. Il manoscritto sarà ricevuto il 27 settembre (appena 60 giorni dopo quello di Heisenberg!) e pubblicato nel dicembre 1925; ma di questo, e della reazione di Heisenberg ai nuovi sviluppi ottenuti dai suoi colleghi, parleremo con più calma nella prossima puntata. (continua)