Da non perdere il cameo (non nel senso del budino…) finale di Franck!

Erwin Rudolf Joseph Alexander Schrödinger nasce il 12 agosto 1887 a Vienna. Suo padre è il proprietario di una piccola fabbrica di linoleum, ma è anche un uomo di grande cultura in molti campi tra cui la chimica e la botanica, mentre la madre è la figlia di un professore inglese di chimica della Technische Hochschule (politecnico) di Vienna. Con queste premesse, non c’è da meravigliarsi del fatto che il giovane Erwin riceva fin dal principio un’educazione con tutti i crismi, venendo seguito da un tutore privato fino ai 10 anni per poi entrare (1898) nell’Akademisches Gymnasium, la scuola secondaria più prestigiosa di Vienna, che gli garantirà un solido curriculum di studi sia umanistici che scientifici. Qui si mette già in luce per le sue capacità, come racconterà in seguito un compagno di classe:

Specialmente in fisica e in matematica, Schrödinger aveva un dono per la comprensione che gli permetteva, senza fare alcun compito, di cogliere ed essere in grado di applicare subito tutto il materiale svolto in classe. Dopo la lezione […] il nostro professore poteva chiamare immediatamente Schrödinger alla lavagna e porgli dei problemi, che lui risolveva con giocosa facilità.

Nonostante questa grande abilità nelle materie scientifiche, Schrödinger manterrà comunque per tutta la vita un vivo interesse per la letteratura e lo studio delle lingue, tanto che in aggiunta alle due lingue “di casa” (tedesco e inglese) diventerà fluente anche in francese e spagnolo, oltre a conoscere il greco antico e il latino.

Dopo essersi diplomato nell’estate del 1906, Schrödinger entra all’università di Vienna con l’idea di proseguire gli studi in fisica e matematica. Tra i suoi professori quelli che esercitano su di lui l’influenza più grande sono Franz Exner, forse in quel momento il fisico più importante dell’impero austro-ungarico (tanto che nel 1908 assumerà il ruolo di cancelliere dell’università di Vienna), e soprattutto Friedrich Hasenöhrl, già allievo del grande Ludwig Boltzmann (quest’ultimo si era suicidato il 5 settembre del 1906, poco prima dell’ingresso all’università di Schrödinger, che quindi non avrà modo di conoscerlo). Hasenhörl, che è appena stato nominato (a soli 32 anni) successore del suo maestro alla cattedra di fisica teorica dell’università di Vienna, si è già costruito una fama di eccellente insegnante e sarà proprio da lui che Schrödinger impererà la meccanica analitica, la fisica dei mezzi continui e soprattutto i metodi risolutivi per quei problemi agli autovalori che, più di 15 anni dopo, saranno alla base dei lavori che rivoluzioneranno la nuova meccanica.

Ma non percorriamo i tempi: nel 1910, conclusi puntualmente gli studi, il ventiduenne Schrödinger si trova alle prese con la tesi di dottorato. Sebbene mostri già uno spiccato interesse per le questioni teoriche, decide di lavorare a un problema di carattere sperimentale suggeritogli dalle ricerche in corso nel laboratorio di Exner sui fenomeni di elettricità atmosferica. Così, il 20 maggio 1910, Schrödinger ottiene il titolo di dottore in fisica grazie a una tesi riguardante «la conduzione di elettricità sulla superficie di un isolante in aria umida», scritta sotto la supervisione di Egon Schweidler.

Dopo un anno di servizio militare come artigliere, Schrödinger ritorna a far parte dell’università nell’ottobre del 1911 ottenendo una posizione da “sostituto assistente” all’istituto di Exner, dove ha modo di collaborare con l’esperto fisico sperimentale Fritz Kohlrausch. In questa prima fase della sua carriera scientifica Schrödinger, oltre a continuare nello studio dell’elettricità atmosferica, ha modo di approfondire la sua conoscenza della fisica della materia occupandosi ad esempio delle proprietà dei materiali dielettrici (sui quali scriverà anche un articolo di review) e, dal 1912 in avanti, del fenomeno della diffrazione dei raggi X, appena scoperto a Monaco da Max von Laue. Su questi argomenti troverà un valido collaboratore nel suo quasi-coetaneo Hans Thirring, anche lui ai suoi primi passi nel mondo della ricerca.

Un altro momento importante arriva nel settembre del 1913, quando si tiene a Vienna la riunione della Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte (“società degli scienziati e fisiatri tedeschi”), la più antica e prestigiosa organizzazione scientifica del Reich, il cui scopo è quello di incentivare lo scambio culturale tra scienziati di diverse discipline. Uno dei protagonisti della riunione è Einstein, che parla del suo tentativo (in quel momento non ancora portato a compimento) di costruire una nuova teoria della gravità. La sua conferenza genera grande interesse da parte di tutti i fisici austriaci, ed è in questa occasione che Schrödinger acquista un interesse per la teoria della relatività che non lo abbandonerà per il resto della sua vita.

Il 9 gennaio 1914 Schrödinger ottiene l’abilitazione ad insegnare nell’università e il semestre successivo tiene subito un corso sui “fenomeni di interferenza di raggi X”. È interessante notare come ancora a questo stadio i suoi interessi siano divisi in parti pressoché uguali tra il lato teorico e quello sperimentale. Poco dopo la fine del semestre scoppia la prima guerra mondiale e Schrodinger viene immediatamente richiamato in servizio (agosto 1914) con il ruolo di ufficiale di artiglieria. Assegnato al fronte italiano, vi rimarrà a tempi alterni fino al 1917 e avrà anche modo di guadagnarsi una menzione d’onore al comando di una batteria di artiglieri durante una delle tante battaglie dell’Isonzo.

Durante la primavera del 1917 Schrödinger viene allontanato dal fronte e spedito ad insegnare un corso di metereologia alla scuola ufficiali di Wiener Neustadt, e ne approfitta per riprendere a pieno regime il lavoro di ricerca (che comunque non aveva mai abbandonato del tutto, continuando a spedire brevi note anche dal fronte su problemi di relatività generale e acustica). È proprio in questo periodo di relativa calma che Schrödinger inizia ad acquisire familiarità con la teoria dei quanti leggendo articoli di Planck, Einstein e altri. Il suo primo lavoro in merito però è, almeno in parte, sperimentale: nell’estate del 1919 formula infatti un’ipotesi secondo cui l’emissione dei quanti di luce nei processi atomici avviene in maniera “orientata”, cioè lungo una direzione ben definita, e procede in prima persona alla verifica di tale ipotesi nel suo laboratorio di Vienna. Gli esperimenti danno però esito negativo: gli effetti di interferenza tra quanti di luce provenienti dalla stessa sorgente permangono anche a grande distanza angolare. Si tratta in realtà dell’ultimo esperimento significativo nella carriera di Schrödinger, i cui interessi da qui in avanti prenderanno definitivamente la strada della teoria.

Questo non è l’unico cambiamento che l’austriaco si trova ad affrontare in quei mesi: a 33 anni suonati decide infatti di sposarsi con la sua fidanzata dell’epoca, Annemarie Bertel (detta Anny), una nativa di Salisburgo trasferitasi a Vienna per lavorare come segretaria. Non volendo procedere al grande passo senza avere uno stipendio fisso, Schrödinger inizia a sondare il terreno per un posto da assistente; la risposta dell’università però è scoraggiante, anche per via delle pessime acque in cui versa l’Austria a seguito della disfatta totale con cui si era conclusa la guerra. Nei primi mesi del 1920 Schrödinger decide allora di abbandonare l’istituto di fisica di Vienna per accettare una posizione come assistente di Max Wien offertagli dall’università di Jena, nella neonata repubblica di Weimar; il che gli consentirà tra l’altro di sposare Anny, il 24 marzo 1920.

Comincia così un periodo che non è esagerato definire da “girovago della fisica”: nel corso dei due anni successivi Schrödinger non passerà mai più di un semestre nella stessa città! Al termine del semestre estivo del 1920, sebbene a Jena fosse già pronta per lui una promozione, decide di trasferirsi alla Technische Hochschule di Stoccarda come professore straordinario. Anche la capitale della Svevia, però, riesce a trattenerlo solo per un semestre: nella primavera del 1921 accetta infatti un posto da professore ordinario offertogli a Breslau.

Ma evidentemente era destino che Schrödinger trovasse casa al di fuori dei confini tedeschi: all’inizio del semestre successivo arriva infatti un’offerta dall’università di Zurigo, che viene prontamente accettata. Il 15 ottobre 1921 Schrödinger viene così nominato professore di fisica teorica nella tranquilla città svizzera dove finalmente trova un ambiente a lui congeniale, oltre all’amicizia di colleghi del calibro di Hermann Weyl e Peter Debye. Nel corso dei quattro anni successivi Schrödinger scriverà ben 18 articoli di ricerca (più due di review) sugli argomenti più disparati: relatività, fisica atomica, teoria quantistica dei calori specifici, meccanica statistica dei gas, e persino la teoria dei colori e della loro percezione. Quest’ultimo campo di indagine, che si situa a cavallo tra fisica e neurobiologia, veniva usato da Schrodinger come un “rifugio” nel quale ritirarsi quando qualche altro problema lo teneva bloccato per troppo tempo.

In questa fase la produzione accademica di Schrödinger ha come caratteristica quella di apportare piccoli ma significativi miglioramenti a risultati già ottenuti da altri. Lui stesso descriverà così il suo stile:

Raramente il mio intervento costituisce la prima risposta a un problema; piuttosto è spesso la seconda, ed è stimolata dal desiderio di contraddire o correggere, sebbene in seguito lo sviluppo sistematico della mia risposta si riveli essere molto più importante della contraddizione originaria, che serve solo a far partire la nuova teoria.

In un certo senso questo stesso meccanismo è alla base degli articoli fondativi della meccanica ondulatoria, che nascono come risposta alle audaci idee di de Broglie che noi ben conosciamo.

Come molti suoi colleghi, Schrödinger viene per la prima volta a conoscenza dei lavori del francese leggendo, nell’estate del 1925, la seconda parte della memoria Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (“Teoria quantistica del gas ideale monoatomico”) in cui Einstein, sviluppando un lavoro del fisico indiano Satyendra Bose, introduce quella che oggi è giustamente nota come statistica di Bose-Einstein. Incuriosito da una nota a pié di pagina in cui il buon Albert, en passant, nota che nella tesi di dottorato di de Broglie si trova «una notevole interpretazione geometrica della regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld», Schrödinger cerca subito di procurarsi una copia della dissertazione, che però arriverà nelle sue mani solo alla fine di ottobre. Il 16 novembre scrive all’amico Alfred Landé:

Negli ultimi giorni mi sono occupato in dettaglio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie. È straordinariamente stimolante; tuttavia, alcuni punti sono ancora molto difficili da capire. Ho tentato invano di visualizzare l’onda di fase di un elettrone in un’orbita Kepleriana…

Dopo aver assorbito le idee di de Broglie, Schrödinger compie un passo in avanti decisivo. Ammesso che, come sostiene il francese, ad ogni particella si possa associare un’onda, la domanda da farsi diventa: qual è l’equazione differenziale che governa l’evoluzione di queste onde? Purtroppo non sappiamo, e probabilmente non sapremo mai, quale sia stata l’intuizione che ha portato Schrödinger a porre il problema in questi termini. Se diamo retta ai racconti (di molto posteriori) dei suoi colleghi Debye e Bloch, l’idea potrebbe essere venuta da una domanda (forse dello stesso Debye) che Schrödinger aveva ricevuto al termine di un seminario in cui aveva illustrato la teoria di de Broglie ai suoi colleghi di Zurigo.

Comunque siano andate le cose, alla fine di novembre Schrödinger si mette in caccia di una “equazione d’onda” che determini l’ampiezza delle onde di fase di un elettrone in un atomo di idrogeno. Inizialmente, come già aveva fatto de Broglie, Schrödinger imposta i suoi conti nel quadro della relatività speciale, che si sapeva ormai essere la teoria corretta per trattare i fenomeni elettromagnetici, e arriva così a un’uguaglianza del tipo

\(\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}}\left( \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r}\right)^{2} – m^{2}c^{4}\right) \psi = 0\)

che può essere vista come una equazione agli autovalori per la funzione d’onda \(\psi\). (In termini moderni, si tratta della versione stazionaria di quella che poco più tardi prenderà il nome di equazione di Klein-Gordon.) C’è però una brutta sorpresa in arrivo: l’espressione dei livelli energetici per l’atomo di idrogeno che si ottiene risolvendo questa equazione non coincide con la formula (anch’essa relativistica) che Sommerfeld aveva ottenuto 10 anni prima, e che si sapeva essere in ottimo accordo con i dati sperimentali! Deluso da questo primo fallimento, Schrödinger molla lì tutto per qualche settimana e passa la prima metà di dicembre a completare due articoli su altri argomenti. Con la fine del semestre si presenta però l’occasione propizia per riprendere in mano il problema.

Per le vacanze di Natale del 1925 Schrödinger si reca ad Arosa, località montana nel cantone dei Grigioni dove andava regolarmente in vacanza fin dal 1922. Spiace indugiare nel gossip, ma ci tocca segnalare che non è da solo: lo accompagna una gentile signora che non è la moglie Anny ma una sua “amica” di Vienna, la cui identità è a tutt’oggi sconosciuta. La cosa non deve stupire più di tanto: gli Schrödinger erano una coppia decisamente aperta, tant’è vero che in quello stesso periodo Anny aveva una relazione stabile con il già citato Hermann Weyl (senza, peraltro, che ciò pregiudicasse in alcun modo il rapporto di amicizia tra i due colleghi). Lo stesso Weyl, molti anni più tardi, approfitterà di queste curiose circostanze per prendere in giro l’amico, dichiarando che Schrödinger ha scritto il suo capolavoro durante «a late erotic outburst in his life».

Scappatella o meno, è proprio durante le due settimane di vacanza ad Arosa che Schrödinger trova la strada giusta per risolvere il problema dell’equazione d’onda. Lasciando da parte (seppur a malincuore) la relatività, Schrödinger replica il ragionamento che aveva già compiuto un mese prima usando però le espressioni classiche per energia e momento dell’elettrone. L’equazione che ne risulta è

\(\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}} 2m \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r} – mc^{2}\right) \psi = 0\)

Con grande sorpresa dell’austriaco, questa volta il calcolo dei livelli energetici dà lo stesso risultato della formula (non relativistica) di Bohr! Sappiamo che Schrödinger era già in possesso di questa cruciale conferma a Natale, poiché Il 27 dicembre scrive in una lettera a Wilhelm Wien (editor della rivista Annalen der Physik, da non confondersi con quel Max Wien con cui aveva lavorato a Jena):

Al momento sono tormentato [sic] da una nuova teoria atomica […] Credo di poter scrivere un sistema vibrante — costruito in una maniera completamente naturale e senza assunzioni ad hoc — che ha come sue frequenze proprie i termini spettrali dell’atomo di idrogeno. […] Spero di riuscire presto a scrivere qualcosa di un po’ più dettagliato e illuminante su questo argomento. Al momento devo ancora capire la matematica necessaria per gestire pienamente il problema vibrazionale — si tratta di una equazione differenziale lineare simile a quella di Bessel, ma meno nota e che esibisce strane condizioni al contorno; queste sono connesse con l’equazione stessa e non imposte dal di fuori.

Schrödinger passa il resto delle sue vacanze (per la gioia, immaginiamo, della sua compagna…) riempiendo di idee un quaderno di 72 pagine che intitola Eigenwertproblem des Atoms I (“Problema agli autovalori dell’atomo”).

Di ritorno a Zurigo, Schrödinger riesce a superare (con l’aiuto dell’esperto Weyl) le difficoltà matematiche che aveva menzionato nella lettera a Wien ed è così in grado di dedurre con i suoi metodi l’intera struttura dei livelli energetici di un elettrone nell’atomo di idrogeno, sia nella sua componente discreta (livelli di Bohr) che in quella continua (che corrispondono agli stati non legati). Tutto è pronto per annunciare la scoperta della nuova teoria, il che avverrà (come promesso a Wien) con un lavoro sugli Annalen.

L’articolo, che viene ricevuto il 27 gennaio 1926 e uscirà a stampa a metà marzo, porta il titolo programmatico di Quantisierung als Eigenwertproblem («La quantizzazione come problema agli autovalori»), seguito dal minaccioso inciso Erste Mitteilung («Prima comunicazione») che lascia presagire una lunga serie di sequel. Questa prima nota si apre con una deduzione euristica dell’equazione d’onda a partire da un principio variazionale (che verrà successivamente scartata dallo stesso Schrödinger in favore di altri approcci), immediatemente seguita dall’esempio fondamentale dell’atomo di idrogeno svolto in ogni dettaglio. L’ideologia che anima il lavoro emerge chiaramente sin dal primo paragrafo:

In questa comunicazione posso anzitutto mostrare nel caso più semplice dell’atomo di idrogeno (non relativistico e imperturbato) che la consueta prescrizione di quantizzazione si può sostituire con un altro postulato nel quale non si parla più di “numeri interi”. Il carattere discreto compare invece nello stesso modo naturale in cui il numero dei nodi di una corda musicale oscillante è un intero. La nuova interpretazione può essere generalizzata e giunge, credo, assai in profondo nella vera essenza delle prescrizioni quantistiche.

È impossibile non notare l’avversione di Schrödinger per l’idea stessa di quantizzazione “alla Planck”, ottenuta postulando esplicitamente che determinate grandezze fisiche possano assumere solo valori discreti pari a multipli interi di un quanto elementare.

La maggiore difficoltà concettuale che la nuova teoria si trova a dover affrontare è, ovviamente, quello di chiarire il significato della funzione d’onda. Nella sua prima comunicazione Schrödinger rimane piuttosto abbottonato:

È evidentemente assai naturale associare la funzione \(\psi\) a un processo di oscillazione nell’atomo, che gli si adatta in maggior misura della oggi assai dubitata realtà delle traiettorie elettroniche. Avevo originariamente l’intenzione di fondare la nuova forma della prescrizione quantistica in questo modo più intuitivo, ma ho presentato poi la forma matematica neutrale di cui sopra perché essa fa risaltare l’essenziale in modo più chiaro.

Nella seconda comunicazione, spedita agli Annalen meno di un mese più tardi (23 febbraio) e pubblicata il 6 aprile, Schrödinger è più deciso. Anzitutto riprende, come già aveva fatto de Broglie prima di lui, la cosiddetta analogia ottico-meccanica di Hamilton, secondo cui le leggi della meccanica di un punto materiale (principio di Maupertuis) sono formalmente analoghe a quelle dell’ottica geometrica (principio di Fermat) facendo corrispondere alla velocità di fase dell’onda la quantità meccanica \(E/\sqrt{2m(E-U)}\). Tuttavia, nota Schrödinger, questa analogia è strettamente legata al fatto di lavorare nell’approssimazione dell’ottica geometrica, poiché

[…] concetti anche importanti della teoria delle onde come ampiezza, lunghezza d’onda, frequenza — o parlando più in generale la forma d’onda — non compaiono nell’analogia, manca per essi un corrispettivo meccanico; neppure della funzione d’onda stessa si può parlare…

Poco più avanti esplicita l’ipotesi alla base del suo lavoro:

Oggi sapiamo che la nostra meccanica classica fallisce per dimensioni dei camini assai piccole e per curvature dei cammini assai forti. Forse questo fallimento è completamente analogo al fallimento dell’ottica geometrica, cioè dell’ottica per lunghezze d’onda infinitamente piccole, che avviene notoriamente quando gli “schermi” o le “aperture” non sono più grandi rispetto alla lunghezza d’onda reale, finita. Forse la nostra meccanica classica è completamente analoga all’ottica geometrica e come tale è falsa, non è in accordo con la realtà, fallisce quando i raggi di curvatura e le dimensioni del cammino non sono più grandi rispetto ad una certa lunghezza d’onda, che nello spazio delle \(q\) assume significato reale. Allora vale la pena di cercare una “meccanica ondulatoria” — e la via più naturale per questo è certo lo sviluppo nel senso della teoria delle onde dell’idea di Hamilton.

La mecanica ondulatoria, nata appena un mese prima con il lavoro sull’atomo di idrogeno, viene qui ufficialmente battezzata.

Schrödinger prosegue assumendo che la dipendenza della funzione d’onda dal tempo sia di tipo sinusoidale, ovvero che sia possibile una fattorizzazione del tipo

\(\psi(q,t) = \psi(q) \exp (2\pi i (E/h) t)\)

Sostituendo la funzione così ottenuta nell’ordinaria equazione delle onde e usando per la velocità di fase l’espressione \(v = E/\sqrt{2m(E-U)}\) suggerita dall’analogia ottico-meccanica, ottiene

\(\nabla^{2}\psi + \frac{8pi^{2}m}{h^{2}} (E-U)\psi = 0\)

che riconosciamo subito come la versione stazionaria della “sua” equazione. La velocità di gruppo dell’onda risulta essere pari a \(\sqrt{2/m (E-U)}\), ovvero quella che classicamente è la velocità del punto materiale, il che permette di recuperare la meccanica classica come limite di quella ondulatoria:

Questa circostanza si può ora utilizzare per stabilire un legame assai più profondo di prima tra propagazione dell’onda e moto del punto immagine. Si può provare a costruire un gruppo d’onde che in tutte le direzioni abbia dimensioni relativamente piccole. Un tale gruppo d’onde seguirà allora prevedibilmente le stesse leggi del moto del singolo punto immagine del sistema meccanico. Esso potrà fornire per così dire un surrogato (Ersatz) del punto immagine, purché si possa trascurare la sua estensione rispetto alle dimensioni del cammino del sistema.

Schrödinger conclude presentando altre applicazioni della nuova meccanica a sistemi semplici: l’oscillatore armonico (per cui ottiene la medesima espressione dei livelli energetici trovata da Heisenberg sei mesi prima), il rotore rigido e la molecola diatomica.

L’impatto delle scoperte che abbiamo appena descritto sulla comunità internazionale dei fisici in quei primi mesi del 1926 sarà devastante: le due comunicazioni del trentottenne fisico austriaco verranno lette, studiate e analizzate in ogni dettaglio praticamente da chiunque, e le reazioni non tarderanno ad arrivare… ma questo sarà materiale per la prossima puntata. (continua)

Louis Victor Pierre Raymond de Broglie nasce a Dieppe, una cittadina portuale dell’alta Normandia, il 15 agosto 1892. Suo padre è Victor, quinto duca di Broglie, discendente di una antica famiglia nobiliare (originaria di Chieri, in Piemonte) che aveva già dato alla storia della Francia varie figure tra cui marescialli, politici e diplomatici. Il primo a rompere la tradizione e dedicarsi alla scienza è però il fratello maggiore di Louis, di nome Maurice. Di 17 anni più vecchio, Maurice avrà un’influenza determinante sul fratellino, specialmente a partire dal 1906, quando papà Victor muore e Maurice eredita il titolo di duca e la posizione di capofamiglia.

Lo stesso Maurice sembrava in realtà destinato a una carriera nella marina militare francese fino al 1904, anno in cui decide di abbandonare quel tipo di vita (con grande disappunto della famiglia) per abbracciare gli studi di fisica. Diventa così un allievo di Paul Langevin al Collège de France, dove ottiene il dottorato nel 1908 grazie a una tesi in cui studia il moto di corpuscoli carichi di varie dimensioni, dagli ioni atomici alle particelle che compongono il fumo di tabacco (!). Conclusi gli studi formali, e non avendo evidentemente problemi di carattere economico, il de Broglie maggiore pensa bene di continuare la sua carriera di fisico sperimentale attrezzando a laboratorio la sua casa di Parigi sita tra rue Lord Byron e rue Châteaubriand, a due passi dall’Étoile.

Nel frattempo anche Louis si è trasferito a Parigi dove frequenta il prestigioso Lycée Janson de Sailly, diplomandosi nel 1909. Le sue idee sono però molto diverse da quelle del fratello, almeno per il momento: infatti dopo il diploma entra sì alla Sorbona, ma nella facoltà di Lettere, dove studia storia medioevale con l’idea di perseguire, dopo la laurea, una tranquilla carriera nella diplomazia. Nel giro di qualche anno, però, questo piano verrà totalmente sconvolto; e tutto per colpa (strano a dirsi) di un tedesco.

All’inizio del 1911, infatti, il chimico-fisico Walther Nernst, a Göttingen, ha un’idea meravigliosa: organizzare un convegno internazionale di fisica centrato sui problemi della nascente teoria dei quanti. Ottenuto il via libera dal «boss» della fisica tedesca Max Planck, Nernst ha la fortuna di entrare in contatto con il chimico e industriale belga Ernest Solvay, allora 73enne (e ricco sfondato), che si offre come sponsor dell’evento. Così, il 30 ottobre 1911 si apre a Bruxelles il Conseil Solvay, con tema La Théorie du Rayonnement et les Quanta. Sotto l’inappuntabile regia dell’olandese Hendrik Lorentz, i 23 fisici più importanti dell’epoca (tra cui un giovane Einstein) si riuniscono per discutere gli ultimi sviluppi nella loro scienza.

Il congresso è un successo strepitoso, e si decide quindi di trasformare l’esperienza in un appuntamento periodico: nascono così quelle conferenze Solvay che avranno (come vedremo) un ruolo fondamentale nella definitiva affermazione della meccanica quantistica. Curatore dei proceedings di questo primo episodio è proprio Maurice de Broglie che, una volta tornato a Parigi, finisce con il coinvolgere anche il fratello minore nel lavoro editoriale. È proprio qui che arriva la svolta: Louis legge infatti con grande interesse i resconti delle relazioni tenute dagli scienziati, restando particolarmente affascinato da quei misteriosi «quanti» che Planck aveva introdotto appena dieci anni prima. Matura così la decisione di gettare alle ortiche la carriera diplomatica e seguire le orme del fratello maggiore.

Dopo altri due anni di studio alla Sorbona Louis ottiene nel 1913 la Licence ès Sciences (una sorta di laurea di primo livello) in fisica e matematica. Subito dopo viene chiamato nell’esercito francese dove, anche grazie a una raccomandazione del fratello, viene assegnato al corpo degli ingegneri. Si tratta di un vero colpo di fortuna, perché meno di un anno dopo scoppia la prima guerra mondiale e Louis riesce così ad evitare le terribili trincee del fronte occidentale, nelle quali i francesi perderanno circa 4 milioni di uomini. Diventa invece uno dei telegrafisti che operano alla stazione radio sulla torre Eiffel, dove rimane in servizio fino all’agosto del 1919.

Terminata l’esperienza nell’esercito Louis è finalmente libero di riprendere gli studi per conseguire il dottorato in fisica, anch’egli sotto la guida di Langevin, che del resto è uno dei pochi fisici francesi a tenersi aggiornato sugli sviluppi teorici più recenti. Seguendo i suoi corsi al Collège de France, de Broglie acquisisce in breve tempo solide basi in relatività e teoria dei quanti. Continua comunque a bazzicare regolarmente la casa-laboratorio del fratello Maurice, che nel frattempo è diventato uno dei massimi esperti nello studio dei raggi X, uno degli argomenti caldi dell’epoca. E qui occorre fare una piccola digressione.

Com’è noto, i raggi X vengono scoperti quasi per caso dal tedesco Wilhelm Röntgen alla fine del 1895 e catalizzano immediatamente l’attenzione dei fisici di tutto il mondo; tant’è vero che, appena sei anni dopo la scoperta, a Röntgen viene assegnato niente meno che il primissimo premio Nobel per la fisica della storia (1901). Tale interesse è dovuto al fatto che nessuno ha la più pallida idea di cosa diavolo siano questi raggi, come del resto testimonia persino il nome con cui Röntgen li aveva battezzati. In particolare ci si chiede se essi siano prodotti da una “vibrazione dell’etere” (come si diceva all’epoca), in maniera analoga alla luce, o se viceversa abbiano natura corpuscolare. Alcune loro proprietà, come la capacità di ionizzare i gas, sembravano suggerire la seconda possibilità. Nel 1912, però, l’osservazione di fenomeni di diffrazione a opera di un team guidato da Max von Laue, a Monaco, sembrò far pendere la bilancia nettamente a favore dell’ipotesi ondulatoria.

Ciò nonostante ancora all’inizio degli anni ’20 alcuni, tra cui l’influente fisico inglese W. H. Bragg (premio Nobel 1915 assieme a suo figlio), continuavano a ritenere che il comportamento dei raggi X presentasse anche aspetti corpuscolari. Tra questi scettici c’è anche Maurice de Broglie, ed è proprio durante le lunghe discussioni con suo fratello che in Louis comincia a farsi strada l’idea che per descrivere i fenomeni atomici sia necessario combinare concetti ondulatori e corpuscolari.

In questa linea di pensiero de Broglie trova un alleato formidabile nel già citato Albert Einstein, che nel 1905 aveva avanzato la coraggiosa ipotesi secondo la quale l’energia di un’onda elettromagnetica era da considerarsi come localizzata in «quanti di luce» (Lichtquanten) indipendenti, il che permetteva ad esempio di spiegare le peculiari proprietà esibite dall’effetto fotoelettrico. In due articoli successivi (1909, 1916) Einstein era poi ritornato sul tema dimostrando, tra le altre cose, come la legge di Planck sullo spettro del corpo nero implichi la necessità di attribuire a un quanto di luce di lunghezza d’onda \(\lambda\) un impulso pari a \(h/\lambda\), il che rende di fatto questi Lichtquanten in tutto e per tutto analoghi a delle particelle. De Broglie studia con attenzione questi lavori e le sue prime due pubblicazioni teoriche, che appaiono durante il 1922, vertono proprio su questo argomento.

Nel frattempo accade un curioso incidente che vale la pena di raccontare. Nell’autunno del 1921 si svolge, sempre a Bruxelles, la terza conferenza Solvay (la prima dopo la fine della guerra) con tema Atomes et électrons. De Broglie vi vorrebbe assistere, nonostante sia ancora un semplice studente di dottorato: c’era infatti l’usanza di autorizzare l’accesso di pochi selezionati estranei ai lavori del congresso. Nonostante la presenza del fratello tra gli invitati, però, il permesso non viene accordato. Molto deluso, Louis giurerà a se stesso che nel futuro sarebbe riuscito a partecipare a una conferenza Solvay, non in qualità di estraneo ma invitato per via delle sue scoperte! (Non crediamo di rovinare la sorpresa a nessuno se anticipiamo che ciò accadrà davvero, nella conferenza del 1927.)

Intanto l’idea dei quanti di luce prende sempre più piede, dapprima (dicembre 1921) grazie all’attribuzione del premio Nobel ad Einstein per i servizi resi alla fisica teorica e specialmente per la sua scoperta della legge dell’effetto fotoelettrico, e quindi (maggio 1923) per via della comparsa su Physical Review di un articolo firmato da Arthur Compton, un fisico sperimentale americano (non molto conosciuto nel vecchio continente) che opera alla Washington University di Saint Louis, in cui

Si suggerisce l’ipotesi che quando un quanto associato a un raggio X è soggetto a diffusione, esso spenda interamente la sua energia e il suo impulso su un particolare elettrone. Questo elettrone a sua volta diffonde il raggio in una direzione definita.

È la scoperta di quello che ancora oggi si chiama l’effetto Compton. Le conclusioni sono chiare:

Questa notevole concordanza tra esperimento e teoria indica chiaramente che la diffusione è un fenomeno quantistico […] e che un quanto di radiazione porta con sé impulso oltre che energia.

I quanti di luce entrano così definitivamente a far parte della fisica moderna (il termine “fotone” dovrà aspettare ancora qualche anno la fantasia del chimico americano Gilbert N. Lewis), e non è un caso che Maurice de Broglie a Parigi sia uno dei primi fisici in assoluto a replicare l’esperienza di Compton.

Questi sviluppi fanno avvertire in maniera ancora più acuta la mancanza di una teoria in grado di conciliare le due anime, ondulatoria e corpuscolare, della luce. Nell’estate del 1923 Louis de Broglie decide di attaccare il problema partendo da due ipotesi rivoluzionarie: la prima è che i quanti di luce siano dotati di una massa piccolissima ma non nulla (dell’ordine dei \(10^{-50}\) grammi), la seconda è che a ogni corpo dotato di massa (e non solo, quindi, ai quanti di luce) sia possibile attribuire un aspetto ondulatorio. Di queste due idee la prima sarà destinata, come suol dirsi, al cestino della storia, ma la seconda si rivelerà un ingrediente fondamentale della nuova meccanica.

De Broglie parte supponendo che a un corpuscolo di massa \(m\) in moto con velocità \(v = \beta c\) sia associato un qualche “fenomeno periodico” che, nel riferimento di quiete del corpo, ha frequenza \(\nu_{0} = mc^{2}/h\) (dove \(mc^{2}\) è l’energia di riposo). Un osservatore stazionario attribuirà però alla particella un’energia pari a \(mc^{2}\gamma\) (dove \(\gamma\) è il fattore di Lorentz), e quindi al fenomeno in questione una frequenza

\(\nu = \nu_{0}\gamma\)

D’altro canto la formula relativistica per l’effetto Doppler trasverso ci dice che l’osservatore stazionario dovrebbe invece misurare una frequenza pari a

\(\nu’ = \nu_{0}/\gamma\)

Per risolvere questa discrepanza de Broglie introduce «une onde fictive associée au mouvement du mobile», con velocità \(c/\beta\) (e dunque maggiore di \(c\), da cui la natura “fittizia” dell’onda) e frequenza \(\nu\) come definita in precedenza. È quindi in grado di dimostrare che se a un certo istante il fenomeno periodico associato alla particella è in fase con l’onda, questo accordo persisterà a tutti i tempi: l’onda “accompagna” l’evoluzione della particella.

Le cose iniziano a farsi interessanti quando si considera il moto di un’elettrone intorno a un nucleo, che si suppone periodico di periodo \(T\). In tal caso è naturale richiedere che l’elettrone, dopo aver fatto un giro completo, si trovi nuovamente in fase con l’onda ad esso associata, il che implica che la quantità

\(\frac{m\gamma v^{2}}{h} T\)

sia un numero intero. Ma questa non è altro che la condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld (nella sua versione relativistica), perché nella situazione descritta l’integrale dell’azione lungo un periodo è proprio

\(J = m\gamma v^{2} T\)

che quindi risulta automaticamente essere pari a un multiplo intero della costante di Planck! È facile immaginare l’eccitazione che deve aver provato de Broglie di fronte alla scoperta di questa semplicissima derivazione delle celebri regole di quantizzazione, tant’è vero che essa viene immediatamente presentata in una nota pubblicata nei Comptes rendus de l’Académie des Sciences (sessione del 10 settembre 1923).

In due note successive, pubblicate rispettivamente il 24 settembre e l’8 ottobre, de Broglie approfondisce le conseguenze della sua teoria dimostrando che la velocità \(v\) della particella coincide con la velocità di gruppo dell’onda fittizia, che inizia a chiamare onda di fase. Il moto della particella è determinato imponendo che essa segua, in ogni punto della sua traiettoria, il raggio determinato dalla sua onda di fase (ovvero la direzione perpendicolare alla superficie di uguale fase dell’onda). Ne segue che il percorso della particella può essere calcolato per mezzo del principio variazionale di Fermat:

\(\delta \int \frac{ds}{\lambda} = 0\)

dove \(\lambda\) è la lunghezza d’onda dell’onda di fase. Ricordando che quest’ultima è il rapporto tra la velocità (\(c/\beta\)) e la frequenza (\(mc^{2}\gamma/h\)), l’equazione precedente si scrive, in termini di quantità corpuscolari,

\(\delta \int \frac{m\gamma v}{h} ds = 0\)

che (eliminata la costante \(h\)) è la versione relativistica del principio di Maupertuis. De Broglie può così concludere trionfante:

Il legame fondamentale che unisce i due grandi principi dell’ottica geometrica e della dinamica è messo così in piena luce.

L’emergere di fenomeni tipicamente ondulatori come interferenza e diffrazione è una conseguenza inevitabile degli analoghi fenomeni che sussistono per le onde di fase:

Se la particella attraversa una fenditura le cui dimensioni siano piccole rispetto alla lunghezza d’onda dell’onda di fase, la sua traiettoria sarà in generale curva, come il raggio di un’onda diffratta.

Ne segue la straordinaria predizione per cui ogni tipo di particella, ad esempio un elettrone, può essere diffratta sotto opportune condizioni; «ed è in questa direzione che occorre guardare per una conferma sperimentale delle nostre idee».

Nei mesi successivi de Broglie mette ordine nei risultati ottenuti e scrive una prima esposizione sistematica della sua teoria, che diventerà la sua tesi di dottorato. Intitolata semplicemente Reserche sur la théorie des quanta, la tesi è pronta per l’estate del 1924 ma verrà discussa alla facoltà di Scienze della Sorbona solo il 25 novembre. Il comitato esaminatore comprende, oltre al presidente Jean Perrin, l’insigne matematico Élie Cartan (che oggi ricordiamo come uno dei fondatori della moderna geometria differenziale), il cristallografo Charles Mauguin e ovviamente il supervisore di de Broglie, Langevin. I quattro si trovano in grande imbarazzo: la tesi è formalmente corretta e molto ben scritta, ma queste “onde di fase” sembrano non avere la minima attinenza con la realtà. Dopo una lunga discussione, alla fine il candidato viene promosso e la sua tesi lodata

pour avoir poursuivi avec une maitrise rémarquable un effort qui devait etre tenté pour vaincre les difficultés aux milieux desquelles étaient les physiciens.

ovvero, «per aver perseguito con notevole maestria uno sforzo che doveva essere tentato per superare le difficoltà nelle quali si trovano i fisici». Com’è facile immaginare, Perrin e Mauguin sono i più perplessi dalla totale assenza di riscontri sperimentali. A onor del vero, de Broglie aveva chiesto a un collaboratore di suo fratello esperto di elettronica, tale Alexandre Dauvillier, di provare ad effettuare un esperimento di diffrazione su fasci di elettroni; sfortunatamente Dauvillier in quel periodo è totalmente assorbito dagli esperimenti su una nuova tecnologia che proprio allora stava muovendo i suoi primi passi… la televisione!

(In realtà, l’esperimento che avrebbe fatto così comodo a de Broglie era già stato effettuato: fenomeni di diffrazione elettronica vennero infatti prodotti, ma non riconosciuti, negli anni 1921-1923 da C. J. Davisson e C. H. Kunsman nei laboratori della Western Electric Company di New York. Nel luglio del 1925 il tedesco Walter Elsasser darà una intepretazione corretta di questi esperimenti (dopo aver letto i lavori di de Broglie), ma la conferma definitiva dell’aspetto ondulatorio degli elettroni arriverà solo nel 1927 grazie agli esperimenti di Davisson-Germer e di G. P. Thomson. È curioso notare come quest’ultimo sia proprio il figlio di quel J. J. Thomson che nel 1897 aveva scoperto gli elettroni in quanto particelle).

La tesi di de Broglie viene prodotta in tre copie dattiloscritte, una delle quali rimane a Langevin che la manda all’amico Einstein per un parere. Einstein riceve la tesi nel dicembre del 1924 e ne resta subito impressionato: in una lettera a Langevin dirà che de Broglie «ha sollevato un angolo del grande velo». Einstein però non si limita alle lodi private, ma cita anche favorevolmente il lavoro del francese in un importante articolo sulla teoria quantistica dei gas ideali, che uscirà a stampa nel febbraio del 1925. E sarà proprio la lettura di quell’articolo che ispirerà un non più giovanissimo fisico austriaco ad approfondire lo studio di quella strana idea delle “onde di fase”… (continua)

Wolfgang Ernst Friedrich Pauli nasce a Vienna il 25 Aprile 1900. Suo padre è un noto medico viennese che un anno prima della sua nascita, seguendo un suggerimento del suo ex professore Ernst Mach, decide di abbandonare la professione per dedicarsi completamente alla ricerca in chimica fisica (diventerà poi professore all’Università). Forse per sdebitarsi, visto l’ottimo consiglio ricevuto, dà a suo figlio il secondo nome Ernst e addirittura chiama Mach a fare da padrino per il suo battesimo, il che se non altro pone sin da subito sotto buoni auspici le sorti scientifiche del nuovo nato.

Le promesse vengono mantenute già a cominciare dal ginnasio, in cui durante le ore di lezione più noiose il giovane Wolfgang inganna il tempo leggendo sottobanco non delle riviste porno (come tutti gli adolescenti che si rispettino), ma… gli articoli di Einstein sulla relatività generale. L’argomento lo interessa così tanto che comincia a prendere lezioni private da tale Hans Bauer, professore all’università di Vienna e autore (assieme a un certo Erwin Schrödinger, di cui — come potete ben immaginare — riparleremo) di alcuni lavori sulla nuova teoria. Queste lezioni evidentemente danno i loro frutti se già nel settembre del 1918, appena tre mesi dopo aver ottenuto il diploma, Pauli è in grado di spedire a una rivista il suo primo articolo scientifico, che riguarda il calcolo del tensore energia-impulso del campo gravitazionale.

Dopo aver evitato l’arruolamento nell’esercito del morente impero austro-ungarico grazie a una presunta “debolezza di cuore” (Herzschwäche), Pauli decide di abbandonare Vienna e proseguire i suoi studi di fisica in Germania, all’università di Monaco. Non passa molto tempo prima che il suo talento venga riconosciuto da Sommerfeld che nel 1920, dopo aver dovuto incassare il rifiuto di Einstein, chiede proprio al nuovo arrivato di scrivere un articolo di review sulla relatività per un importante progetto editoriale dell’epoca chiamato Enciclopedia delle Scienze Matematiche, di cui è il coordinatore. Il prestigio di questo incarico si può misurare dal fatto che esso pone il ventenne Pauli sullo stesso piano di nomi quali Boltzmann, Lorentz, Debye, Born e lo stesso Sommerfeld, tutti autori di altri articoli per il medesimo progetto. Il lavoro, che alla fine ammonta a 237 pagine, è sostanzialmente completo per il dicembre di quell’anno ed esce a stampa nel settembre del 1921; successivamente pubblicato in monografico, su di esso si formeranno generazioni e generazioni di relativisti fino agli anni ’70 e oltre.

Alla fine del 1920, come sappiamo, anche Heisenberg si iscrive all’università di Monaco. I due legano immediatamente, nonostante sotto molti punti di vista siano uno l’opposto dell’altro: ad esempio mentre Heisenberg ama la montagna, lo sci e le escursioni, Pauli disdegna ogni tipo di attività fisica e non si allontana mai dalla città. Il suo passatempo preferito consiste nel trascorrere le serate nei caffé di Schwabing, celebre quartiere notturno di Monaco, per la gioia di Sommerfeld che la mattina non vede mai arrivare il suo studente prima di mezzogiorno.

È sempre in questo periodo che Pauli inizia a sviluppare quel terribile e irriverente senso critico per cui diventerà famoso (o famigerato) nella comunità internazionale dei fisici. Nel suo secondo articolo (che risale al giugno del 1919), dovendo segnalare un errore di segno in alcune formule di un lavoro di Hermann Weyl, Pauli scrive cautamente:

Vorrei esprimere, con il dovuto rispetto, l’opinione che un piccolo errore sia presente nell’articolo di Weyl.

Sfortunatamente, questa frase rimarrà l’unica critica gentile della sua carriera: già nella sua review sulla relatività Pauli non si fa alcun problema a sottolineare in maniera spietata alcune incongruenze fisiche nelle teorie di mostri sacri quali lo stesso Weyl e Gustav Mie. Questi e altri episodi gli varranno più avanti il nomignolo di “frusta di Dio” (die Geissel Gottes) affibbiatogli da Ehrenfest (e accettato con grande orgoglio). La sola persona che in qualche misura si salverà dai suoi commenti abrasivi sarà Sommerfeld, verso il quale manterrà per tutta la vita quel rispetto tipico del rapporto allievo-maestro. L’unica eccezione ce la racconta Heisenberg: un giorno, durante una lezione a cui Sommerfeld si è presentato vestito in maniera particolarmente pomposa, Pauli si gira verso l’amico e osserva: «non ti sembra che somigli a un vecchio colonnello ussaro?».

Nella seconda parte del suo periodo di studi a Monaco gli interessi di Pauli si spostano decisamente sulla fisica atomica, che in quel momento è ricca di problemi aperti (contrariamente alla relatività). È quindi del tutto naturale che la sua tesi di dottorato, discussa il 25 luglio del 1921, verta proprio sulla teoria dei quanti, e precisamente sul problema di descrivere lo ione della molecola di idrogeno. Il lavoro è tecnicamente impressionante, ma i risultati sono una delusione: l’energia di ionizzazione calcolata tramite il modello di Bohr-Sommerfeld non coincide con il valore misurato, a dimostrazione del fatto che la “corretta” meccanica quantistica è ancora lontana.

Ottenuto il titolo di dottore, Pauli va a Göttingen per un semestre come assistente di Max Born, che entusiasta scrive in una lettera all’amico Einstein: «non avrò mai più un assistente così bravo». Questo giudizio si rivelerà un po’ troppo affrettato: come Born ricorderà in seguito, «gli piaceva dormire fino a tardi, e più di una volta gli capitò di perdere la lezione delle undici. A un certo punto abbiamo iniziato a mandare la nostra cameriera da lui alle dieci e mezza per accertarsi che fosse sveglio. Senza dubbio era un genio di prim’ordine, ma la mia preoccupazione era ingiustificata. Il suo successore Heisenberg era altrettanto intelligente, e molto più coscienzioso: non abbiamo mai dovuto mandare nessuno a svegliarlo».

Nell’aprile del 1922 Pauli, non gradendo l’atmosfera troppo matematica che si respira a Göttingen, si trasferisce ad Amburgo presso l’istituto di fisica diretto da Wilhelm Lenz; appena due mesi dopo, però, è nuovamente a Göttingen per il Bohr Festspiele (di cui abbiamo già parlato nella seconda puntata). Come Heisenberg, anche Pauli resta affascinato dalla figura di Niels Bohr, tanto che in seguito descriverà questo incontro come “l’inizio di una nuova fase della mia vita scientifica”. Bohr, dal canto suo, pensa bene di invitarlo per un anno a Copenhagen come curatore dell’edizione in tedesco dei suoi lavori. A questa straordinaria proposta Pauli risponde, con notevole faccia tosta:

Mi riesce difficile pensare che avrò qualche difficoltà sul piano scientifico, ma l’imparare una lingua straniera come il danese va di gran lunga oltre alle mie abilità.

al che Bohr non può fare a meno di scoppiare a ridere. Pochi mesi più tardi, nell’ottobre del 1922, Pauli arriva effettivamente alla corte di Bohr dove, oltre a portare avanti il già menzionato incarico editoriale, ha modo di avviare una fruttuosa collaborazione con Hendrik Kramers e si dedica altresì a ricerche personali su un altro dei grandi problemi aperti dell’epoca, l’effetto Zeeman anomalo, ottenendo però solo dei risultati parziali e certamente poco soddisfacenti per un fisico della sua ambizione. La frustrazione che tale problema causa al povero Pauli è testimoniata da un celebre aneddoto: un giorno un suo collega all’istituto di Bohr lo incontra mentre va a spasso per le vie di Copenhagen con il muso lungo. «Sembri molto triste», osserva questi ignaro. E Pauli, scocciato: «Come si può avere un’espressione felice mentre si pensa all’effetto Zeeman anomalo?».

Tra parentesi, è forse il caso di spiegare brevemente cosa diavolo sia questo effetto Zeeman anomalo. Come ricordato nella prima puntata, ogni elemento chimico ha una sua “carta d’identità” data dalle sue righe spettrali, e uno dei problemi principali che doveva affrontare la nuova meccanica era proprio quello di spiegare la struttura di tali spettri. Nel 1896 Pieter Zeeman, un fisico olandese operante a Leiden, ha l’idea di provare a vedere cosa succede a queste righe spettrali quando la sostanza che le emette viene immersa in un campo magnetico statico. Ebbene, ciò che accade è che alcune righe spettrali si dividono: ad esempio per l’idrogeno, la riga che corrisponde alla trasizione da \(n=3\) a \(n=2\) diventa un tripletto (la figura che segue è spudoratamente copiata da qui):

Siccome l’entità dello scostamento dipende dal valore del campo magnetico, questo effetto viene usato oggi ad esempio per misurare i campi magnetici delle macchie solari:

Per questa scoperta Zeeman vincerà il premio Nobel nel 1902 assieme a Lorentz, che fornisce una spiegazione teorica del fenomeno nell’ambito della meccanica classica.

Ma qual è la ragione dell’aggettivo “anomalo”? Il problema è che per certi elementi le righe spettrali si dividono in una maniera più complicata rispetto al semplice tripletto previsto dal modello di Lorentz (o dalla sua versione quantistica, sviluppata da Debye e Sommerfeld nel 1916). Ad esempio nel sodio abbiamo divisioni in 4 o addirittura in 6 righe distinte:

Oggi sappiamo che il numero di righe dipende dallo spin degli elettroni di valenza degli atomi coinvolti, ma all’epoca lo spin era sconosciuto e queste differenze di comportamento tra i vari elementi costituivano un vero rompicapo che tenne occupati molti tra i grossi calibri del periodo, tra cui ricordiamo anche Heisenberg e Alfred Landé.

(Per inciso, anche la scoperta dello spin dell’elettrone meriterebbe di essere raccontata, tanto più che lo stesso Pauli ha avuto in essa una parte tutt’altro che trascurabile; ma dato che questa puntata sta già diventando fin troppo lunga, mi sembra più opportuno lasciarla da parte per il futuro.)

Torniamo dunque a Pauli che nell’ottobre del 1923, esaurito il suo incarico a Copenhagen, ritorna ad Amburgo dove, su pressione dei colleghi Lenz e Otto Stern (appena trasferitosi da Francoforte, dove assieme a Walter Gerlach aveva ideato e condotto il celebre esperimento omonimo), viene rapidamente nominato Privatdozent senza neanche bisogno di una tesi di abilitazione (oggi diremmo per “chiara fama”). Ed è proprio ad Amburgo che, poco più di un anno più tardi, arriva la scoperta che proietta definitivamente Pauli nell’olimpo dei fisici teorici: il principio di esclusione.

Pauli passa buona parte del 1924 a cercare di spiegare la struttura elettronica degli atomi, prendendo come punto di partenza il cosiddetto «principio di costruzione» (Aufbauprinzip), discusso tra l’altro da Bohr durante le sue lezioni a Göttingen di due anni prima, secondo cui la struttura elettronica di ciascun elemento della tavola periodica può essere “costruita” a partire da quella dell’idrogeno aggiungendo un elettrone alla volta. La svolta arriva quando Pauli, leggendo la prefazione alla quarta edizione fresca di stampa dell’Atombau und Spektrallinien di Sommerfeld, trova il riferimento a un importante lavoro sulla struttura degli atomi (pubblicato il 1° ottobre 1924) a opera di Edmund Stoner, fisico sperimentale inglese di stanza al Cavendish Laboratory. In breve tempo, Pauli è in grado di ricondurre le regole empiriche dedotte da Stoner sulla base dei suoi esperimenti di spettroscopia a raggi X a un singolo principio: in un atomo non possono mai esistere due o più elettroni con gli stessi numeri quantici. Non solo: tale ipotesi permette anche di spiegare la lunghezza dei vari periodi della tavola periodica (la famosa sequenza 2, 8, 18, 32 che fino ad allora era stata vista come un puro dato empirico), alcune regolarità nella struttura degli spettri, e molto altro.

Questi importanti risultati vengono pubblicati nel marzo del 1925 in un articolo che diventa immediatamente un classico, tanto che per la fine dell’anno il «principio di esclusione di Pauli» sarà già entrato stabilmente a far parte delle leggi della fisica atomica (e frutterà a Pauli il premio Nobel, seppur a vent’anni di distanza). Pauli stesso, comunque, non resta pienamente soddisfatto del suo lavoro, soprattutto per non essere riuscito a giustificare il nuovo principio a partire da assunzioni teoriche di carattere più generale (cosa che avverrà successivamente tramite il legame con le proprietà di simmetria della funzione d’onda). In una lettera indirizzata a Bohr e Heisenberg scriverà al riguardo, nel suo classico stile sarcastico:

In questo lavoro non ci sono sciocchezze (Unsinn) peggiori delle attuali opinioni riguardo la struttura degli spettri. Piuttosto, le mie sciocchezze sono coniugate rispetto a quelle abituali fino ad oggi.

Archiviato il lavoro sul principio di esclusione, Pauli mette in cantiere un nuovo, monumentale progetto: viene infatti incaricato da Geiger (sì, quello del contatore) e Scheel, curatori dell’Handbuch der Physik, di scrivere (ancora!) un articolo di review, stavolta sulla teoria dei quanti. Il momento non poteva essere scelto peggio (anche se ovviamente all’epoca né Pauli né chiunque altro poteva prevederlo), visto che nei mesi successivi la teoria di Bohr-Sommerfeld sarebbe stata completamente spazzata via dalla “nuova” meccanica quantistica; tant’è vero che quando la review in questione (un altro tomo di 278 pagine) vedrà effettivamente la luce, nel luglio del 1926, sarà già irreparabilmente obsoleta, e Pauli si riferirà ad essa ironicamente come il suo «vecchio testamento».

L’articolo per l’Handbuch tiene impegnato Pauli fino alla metà di ottobre; nel frattempo, in quel di Göttingen, la meccanica delle matrici è in piena costruzione e Pauli è costantemente aggiornato sui suoi sviluppi grazie alle lettere di Heisenberg. Il 9 ottobre scrive a Kronig:

La meccanica di Heisenberg mi ha ridato gioia di vivere (Lebensfreude) e speranza. Non dà la soluzione del mistero, ma adesso credo di nuovo che sia possibile fare dei progressi.

Poche righe dopo, però, fa capire chiaramente come non sia molto felice della direzione che la nuova teoria sta prendendo sotto l’influsso di Born e Jordan:

Prima di tutto bisognerebbe provare a liberare la meccanica di Heisenberg dal diluvio di erudizione formale di Göttingen, e metterne a nudo l’essenza fisica in maniera migliore.

Tale insoddisfazione viene probabilmente espressa allo stesso Heisenberg, che in una lettera di pochi giorni dopo (12 ottobre) gli risponde piccato:

Il tuo eterno vituperare Copenhagen e Göttingen è un vero scandalo. In ogni caso, devi concederci che non stiamo cercando di rovinare la fisica di proposito. Quando ci rimproveri dicendo che siamo talmente asini che non abbiamo mai prodotto niente di nuovo dal punto di vista fisico, puoi anche avere ragione. Ma allora anche tu sei ugualmente asino, visto che neanche tu ci sei riuscito.

Pauli accetta la sfida implicita nelle parole dell’amico e, nel giro di tre settimane, riesce laddove Born e Heisenberg avevano fino a quel momento fallito, ovvero nel ricavare la corretta espressione dei livelli energetici dell’atomo di idrogeno usando la nuova meccanica. Per farlo usa quello che potremmo definire un “asso nella manica”: il vettore di Laplace-Runge-Lenz, una particolare costante del moto tipica del problema dei due corpi interagenti tramite un potenziale di tipo coulombiano. (Apparentemente questo vettore, pur essendo per ovvi motivi ben noto ad Amburgo — no, quel Lenz a capo del dipartimento non è un omonimo — non lo era altrettanto nella pur “erudita” Göttingen.)

Ovviamente la prima persona ad essere informata del successo è Heisenberg, che il 3 novembre risponde soddisfatto:

Non c’è bisogno che io ti dica quanto sono felice per la tua nuova teoria dell’idrogeno, e quanto ammiri il fatto che tu l’abbia messa a punto così velocemente…

Ma Pauli non si ferma qui: è anche in grado di calcolare la perturbazione ai livelli energetici indotta dalla simultanea presenza di (deboli) campi elettrici e magnetici, problema questo che dava origine a gravi difficoltà nell’ambito della vecchia teoria dei quanti. L’articolo che contiene questi risultati, intitolato “Sullo spettro dell’idrogeno dal punto di vista della nuova meccanica quantistica”, viene ricevuto dallo Zeitschrift für Physik il 17 gennaio 1926 ma, a causa di alcune lungaggini editoriali, sarà effettivamente pubblicato solamente più di due mesi dopo, il 27 marzo.

In quello stesso periodo, come sappiamo, il problema dell’atomo di idrogeno viene attaccato anche in Inghilterra da Dirac, che però lo affronta in una maniera molto più generale, di fatto risolvendo il problema della quantizzazione di un qualunque sistema espresso in termini di variabili azione-angolo. Applicando tale teoria al caso dell’atomo di idrogeno, Dirac è in grado di calcolare i relativi livelli energetici arrivando a un’espressione del tipo

\(\omega_{n} = \frac{m e^{4}}{2\hbar} \left( \frac{1}{P^2} – \frac{1}{(P+n\hbar)^{2}}\right)\)

Sulla base di ragionamenti euristici assume poi che la quantità che ha chiamato \(P\) sia pari a un multiplo intero di \(\hbar\), il che gli permette di ricondurre la formula precedente a quella ottenuta da Bohr. Questi risultati andranno a costituire il suo lavoro successivo, “La meccanica quantistica e uno studio preliminare dell’atomo di idrogeno“, completato il 22 gennaio del 1926 (cinque giorni dopo quello di Pauli). Nel frattempo, Dirac ha già saputo da Heisenberg della soluzione dell’atomo di idrogeno nella meccanica delle matrici a opera di Pauli, e ha anche ricevuto le bozze del relativo articolo (che infatti citerà in una nota a pié di pagina). Tuttavia sarà la soluzione di Dirac ad andare in stampa per prima, nel fascicolo di marzo dei Proceedings della Royal Society, grazie al suo canale preferenziale con la rivista in questione. Ciò nonostante, la priorità nel trattamento dell’atomo di idrogeno sulla base della nuova meccanica verrà in genere riconosciuta a Pauli, sulla base delle date di ricezione degli articoli da parte delle rispettive riviste (i cinque giorni sopra ricordati). Per la seconda volta, il povero Dirac si vedeva superato in volata sul traguardo; e a poco valeva, come consolazione, la solita lettera di Heisenberg che si congratulava per i risultati ottenuti.

L’anno 1926 si apre quindi all’insegna dell’ottimismo: finalmente la fisica atomica non sembra più quel mistero inestricabile che era apparsa per vent’anni. La nuova meccanica, sia essa considerata nella sua versione matriciale made in Göttingen o in quella più algebrica propugnata con tenacia da Dirac, ha già dimostrato di essere all’altezza della vecchia teoria dei quanti di Bohr e promette di andare ben oltre. Tutto ci si poteva aspettare a questo punto, tranne che all’orizzonte si affacciasse una terza teoria, dal carattere completamente diverso rispetto alle due appena ricordate e in aperta competizione con esse! Eppure, sarà proprio quello che succederà; ma per capire come dobbiamo nuovamente fare un salto indietro nel tempo di poco più di un anno, per raccontare di quando un giovane nobile francese mise in grande imbarazzo quattro celebri professori della Sorbona… (continua)

Paul Adrien Maurice Dirac nasce a Bristol, in Inghilterra, l’8 agosto del 1902; ma suo padre, Charles Adrien Ladislas Dirac, non è inglese: è originario di Monthey, nella Svizzera francofona, e non possiamo non partire da lui se vogliamo capire qualcosa della personalità di Paul.

Nel 1886 il ventenne Charles decide di fuggire di casa e rompere definitivamente i rapporti con la sua famiglia. Dopo qualche anno trascorso a Ginevra a studiare, tra il 1888 e il 1890 Charles emigra in Inghilterra stabilendosi a Bristol, dove si guadagna da vivere come insegnante di francese. Qui incontra Florence Holten, una ragazza di 12 anni più giovane figlia di un capitano marittimo originario della Cornovaglia trasferitosi a Bristol per lavoro. I due si sposano nel 1899, e nel corso degli anni successivi arrivano tre figli: Reginald, Paul e Beatrice.

Tutto è bene quel che finisce bene, quindi, con il ragazzo scappato di casa che riesce a farsi una nuova vita e a mettere su una famiglia felice in un altro Paese? Neanche per sogno. Tanto per cominciare, il carattere di Charles non è dei più facili: nella scuola dove insegna è famoso per la stretta disciplina che mantiene nelle sue classi grazie a un meticoloso sistema di punizioni. Le cose non cambiano più di tanto tra le mura domestiche, dove è un vero e proprio tiranno: le regole le decide lui, e moglie e figli si devono adeguare (situazione peraltro comune a quell’epoca, e forse ulteriormente accentuata dalla grande differenza di età che passa tra Charles e sua moglie).

Ora, questo approccio alla conduzione della famiglia non è di per sé necessariamente un male, a patto che le regole in questione siano ragionevoli; il problema è che papà Dirac tanto ragionevole non è. Diciamo pure che è un asociale: qualunque tipo di interazione col prossimo è vista come una scocciatura da evitare per quanto possibile. La moglie e i figli si trovano così rinchiusi in un ferreo isolamento che finisce, inevitabilmente, per plasmare il carattere del giovane Paul. Lui stesso, in una intervista condotta negli anni ’60, dirà al riguardo:

In quei tempi non parlavo mai a nessuno a meno che non mi rivolgessero la parola. Ero molto introverso, e passavo il mio tempo pensando a problemi  sulla Natura. […] In effetti da ragazzo non avevo alcun tipo di vita sociale.

Come se ciò non bastasse, papà Dirac soffre anche di un’altra sindrome, tipica degli emigrati, in cui la nostalgia per la terra di origine si scontra con l’oggettiva impossibilità di farvi ritorno abbandonando il lavoro e la posizione faticosamente raggiunti nel nuovo Paese. Nel caso di Charles Dirac questa contraddizione si manifesta in alcuni atteggiamenti del tutto irrazionali, come ad esempio la scelta di acquisire la cittadinanza inglese solo nel 1919, trent’anni dopo il suo arrivo oltremanica (il che andrà a detrimento di Paul, come vedremo), e un ossessivo attaccamento alla lingua francese, che lo porta per esempio ad imporre al figlio di rivolgersi a lui unicamente in tale lingua:

[mio padre] pensava che sarebbe stato un bene per me imparare il francese in questo modo. Siccome però trovavo difficile esprimermi in quella lingua, preferivo stare zitto che parlargli in inglese. Così diventai un tipo molto silenzioso — tutto questo iniziò molto presto…

Non solo: anche a tavola è assolutamente vietato parlare, se non in francese. A causa di questa ulteriore, assurda regola la povera Florence decide a un certo punto di mangiare in cucina, presto seguita dagli altri due figli, mentre il marito e Paul restano a mangiare da soli nella sala da pranzo (dobbiamo presumere nel silenzio più assoluto).

La disfunzionalità della famiglia Dirac è perfettamente testimoniata da un aneddoto. Nell’estate del 1920 Paul si trova a vivere per la prima volta fuori casa, a Rugby, dove lavora come apprendista nella stessa industria in cui è impiegato il fratello Reginald. Com’è naturale, i due si incontrano spesso per strada, ebbene: in tali circostanze si trattano come due perfetti estranei, senza nemmeno scambiarsi un saluto!

Quanto al percorso di studi di Paul, anch’esso viene ovviamente deciso dal padre, che pensa bene di iscriverlo alla scuola in cui lui stesso insegna, il Merchant Venturers Technical College di Bristol. Contrariamente alla maggior parte delle scuole inglesi del periodo, in essa non si studiano i classici greci e latini o le arti, ma ci si concentra su scienza, lingue moderne e in generale materie molto pratiche. A scuola Paul è uno studente non particolarmente brillante, con una eccezione: la matematica, unica materia dalla quale è davvero affascinato. Un suo compagno di scuola lo ricorda così:

Infestava la libreria e non prendeva parte ad alcun gioco. Nell’unica occasione in cui lo vidi maneggiare una mazza da cricket, mi apparve curiosamente inetto.

Nel frattempo siamo nel pieno della prima guerra mondiale, e tutti i maschi in età arruolabile vengono chiamati dall’esercito: così le classi finali del college restano semivuote e i ragazzi più giovani vengono spinti in avanti per riempire i posti disponibili, senza preoccuparsi troppo di quanto essi riescano a capire ciò che viene loro spiegato. Grazie a questa circostanza Paul esce dal college nel 1918, quando è appena sedicenne. Sempre sotto l’influenza del padre, decide di lasciar perdere la matematica (nella quale peraltro non vedeva sbocchi lavorativi) e di iscriversi, come già suo fratello Reginald prima di lui, al corso di ingegneria elettrica dell’università di Bristol.

Durante i suoi studi di ingegneria Dirac approfondisce sì la sua conoscenza della fisica, ma, com’è naturale, solo nei suoi aspetti più applicativi (circuiti elettrici, fisica della materia, ecc.). Molti argomenti allora considerati “di frontiera” come le equazioni di Maxwell e la teoria atomica (per non parlare della relatività) non erano insegnati, in quanto ritenuti non necessari per un ingegnere. Nel maggio del 1919 accade però un evento importante: una spedizione di astronomi inglesi guidata da Arthur Eddington osserva per la prima volta, durante un’eclissi solare, la deflessione gravitazionale dei raggi di luce prevista da Einstein. L’annuncio crea grande scalpore, e improvvisamente la teoria della relatività diventa un argomento di moda. Anche il giovane Dirac ne rimane affascinato, e decide di saperne di più. Purtroppo però all’università di Bristol l’unico a occuparsi di relatività è un filosofo, tale Charlie Broad, le cui lezioni, del tutto non-tecniche, lasciano ovviamente Dirac insoddisfatto. Il suo appetito per la fisica di base verrà saziato solo l’anno successivo, quando Eddington darà alle stampe il classico testo Space, Time and Gravitation, che Dirac divora (in senso figurato).

Mentre nel tempo libero si diletta di fisica teorica, Dirac continua senza grande entusiasmo il corso di ingegneria elettrica giungendo infine al diploma nel 1921. Tuttavia le prospettive di impiego sono scarse: l’Inghilterra è ancora nel bel mezzo del processo di riconversione dall’industria bellica all’industria di pace, e il tasso di disoccupazione è molto elevato. Ironicamente, proprio i “sicuri” studi ingegneristici si rivelano alla prova dei fatti una scelta perdente, così Dirac decide finalmente di seguire la propria passione e si reca a Cambridge per sostenere la prova di ammissione alla prestigiosa università locale.

L’esame va bene e Dirac guadagna una borsa di studio, che però consiste nella miseria di 70 sterline all’anno. La prassi dell’epoca voleva che, per gli studenti fuori sede, questa borsa di base venisse integrata da un finanziamento a carico delle strutture educative della città di origine dello studente; ma a Dirac tale supporto venne negato perché suo padre (che, come abbiamo visto, aveva preso la cittadinanza solo due anni prima) risulta essere inglese da troppo poco tempo! Fortunatamente, a quel punto l’università di Bristol gli offre la possibilità di studiare matematica da loro senza pagare tasse, opzione che Dirac coglie al volo. Così, dal 1921 al 1923, Dirac studia a Bristol laureandosi in matematica applicata con first class honours, e a quel punto i suoi docenti a Bristol riescono finalmente a procurargli una borsa di studio per il dottorato al St. John’s College di Cambridge.

Così nell’autunno del 1923, a ventuno anni appena compiuti, Dirac riesce finalmente a evadere dall’ambiente emotivamente soffocante della sua famiglia (anche se si potrebbe obiettare che a quel punto i danni erano già stati fatti…) e dall’ambiente intellettualmente poco stimolante dell’università di Bristol, dove la ricerca è inesistente; al contrario, Cambridge è in quel momento la capitale indiscussa della fisica teorica inglese. Qui giunto, Dirac inizialmente spera di lavorare con Ebenezer Cunningham, matematico (e pacifista) londinese che può essere considerato il primo esperto inglese di relatività, avendo pubblicato i primi lavori sull’argomento nel 1914. Cunningham però, pur avendo solo 42 anni all’epoca, aveva già deciso di non accettare più studenti di dottorato, non sentendosi abbastanza a suo agio negli sviluppi più recenti della fisica. Così Dirac finisce con l’essere assegnato a quel Ralph Fowler che abbiamo già brevemente presentato nella puntata precedente: col senno di poi si trattò di un vero colpo di fortuna, visto che Fowler è in quel momento uno dei fisici inglesi più aggiornati sugli sviluppi della fisica atomica. Ciò non toglie che Dirac, che voleva occuparsi di relatività, sia rimasto all’inizio un po’ seccato!

Gli interessi principali di Fowler sono la teoria quantistica degli atomi e la meccanica statistica, e in entrambi questi campi Dirac non sa quasi nulla; ma in maniera sorprendentemente rapida riesce, nel giro di pochi mesi, a farsi una solida cultura di base, studiandosi tra l’altro il celebre Treatise on the Analtical Dynamics of Particles and Rigid Bodies di E. T. Whittaker e il voluminoso Atombau und Spektrallinien di Sommerfeld. Fowler capisce molto presto l’abilità del suo nuovo allievo quando questi risolve senza battere ciglio i primi due problemi di meccanica statistica che gli aveva assegnato. E questo è solo l’inizio: nel giro di un anno e mezzo Dirac pubblica infatti ben sette articoli, in cui risolve vari problemi suggeritigli da Fowler, dall’astronomo Edward Milne e altri. I suoi lavori presentano sin da subito uno stile caratteristico che lo accompagnerà per tutta la vita: sono estremamente concisi e diretti, tecnicamente accurati e presentati in maniera logicamente ineccepibile.

Nel frattempo l’ambiente di Cambridge, pur non essendo a sua volta particolarmente favorevole alle interazioni sociali, rende un po’ meno introverso il giovane Dirac, che ad esempio comincia a partecipare ai colloqui settimanali a casa del geometra H. F. Baker (una delle istituzioni della matematica a Cambridge) e si iscrive a due circoli accademici: il \(\nabla^{2} V\) Club (frequentato da tutti i fisici teorici che contano) e il già nominato Kapitza Club, più rivolto al lato sperimentale. In quest’ultimo ha l’opportunità di assistere a seminari tenuti, tra gli altri, da James Franck e Niels Bohr. D’altro canto, sebbene a Cambridge Dirac entri in contatto con diverse persone, nessuna di queste diventerà una vera e propria amicizia. La vita di Dirac in questo periodo non conosce distrazioni:

Lavoravo tutti i giorni tranne la domenica, in cui mi rilassavo e, se il tempo era buono, facevo una lunga passeggiata da solo in campagna. L’idea era quella di riposarsi dopo una settimana di studio intenso, e magari provare a ottenere un nuovo punto di vista da cui approcciare i problemi il lunedì successivo. Ma lo scopo principale di queste passeggiate era quello di rilassarsi; i problemi mi galleggiavano in testa, senza pensarci in maniera conscia. Questo era il tipo di vita che conducevo.

Arriviamo così alla fatidica estate del 1925. Come sappiamo, Heisenberg visita Cambridge e (il 28 luglio) tiene un seminario al Kapitza Club, in cui peraltro non parla del suo ultimo lavoro. Per uno di quei classici scherzi del destino, Dirac non è a Cambridge in quel momento e non incontra Heisenberg. Tuttavia Fowler parla con il tedesco e lo convince a farsi mandare una bozza del suo articolo, che arriva a fine agosto. Fowler le dà un’occhiata veloce e quindi la passa a Dirac, lasciandogli un appunto sulla prima pagina:

Mi piacerebbe sapere cosa ne pensi di questo.

Alla prima lettura, Dirac non è particolarmente impressionato dal lavoro del suo quasi-coetaneo, anche perché il linguaggio usato da Heisenberg è completamente diverso da quello al quale lui era abituato (il formalismo delle variabili azione-angolo usato da Sommerfeld). Tuttavia, una settimana più tardi, Dirac ritorna sulla bozza e cambia completamente idea, riconoscendo nelle idee di Heisenberg un possibile punto di svolta; da quel momento la sua mente sarà totalmente concentrata sul nuovo approccio alla meccanica atomica. In particolare, Dirac è colpito dalla nuova regola di moltiplicazione per le ampiezze di transizione, che già aveva suscitato l’attenzione di Born. Dopo qualche falsa partenza, l’idea buona arriva una domenica di ottobre, e lasciamo che sia lui stesso a raccontarci come:

Fu durante una passeggiata domenicale in ottobre, in cui (nonostante la mia intenzione di rilassarmi) stavo ancora pensando a questo \(uv – vu\), che mi vennero in mente le parentesi di Poisson. Mi ricordavo qualcosa che avevo letto precedentemente in libri di dinamica avanzati riguardo queste strane quantità, e da quanto potevo ricordare sembrava esserci una stretta affinità tra le parentesi di Poisson di due quantità \(u\) e \(v\) e il commutatore \(uv-vu\). L’idea venne dapprima in un flash, immagino, e generò una certa eccitazione. Poi naturalmente venne la reazione: «no, probabilmente è sbagliato». Non ricordavo molto bene la formula precisa per le parentesi di Poisson, avevo solo qualche vago ricordo. Ma la possibilità era eccitante, e pensavo che potevo appena aver avuto una grande idea. Era una situazione molto spiacevole, e divenne imperativo per me rispolverare la mia conoscenza delle parentesi di Poisson. Ovviamente non potevo farlo mentre ero in aperta campagna. Dovevo correre a casa e vedere cosa potevo trovare al riguardo. Guardai nei miei appunti, che avevo preso a vari corsi, ma non c’era alcun riferimento alle parentesi di Poisson da nessuna parte. I libri di testo che avevo a casa erano tutti troppo elementari perché ne parlassero. Non c’era niente da fare, perché era domenica sera e tutte le biblioteche erano chiuse. Potevo solo aspettare impaziente che passasse la notte senza sapere se questa idea era davvero buona o no, e tuttavia penso che la mia fiducia crebbe gradualmente nel corso di quella notte. Il mattino dopo andai di corsa in una delle biblioteche non appena essa fu aperta, e cercai le parentesi di Poisson nel libro di Whittaker. Erano esattamente quello che mi serviva!

La definizione che fece passare a Dirac una notte insonne è

\(\{u,v\} = \sum_{i} \left( \frac{\partial u}{\partial q_{i}} \frac{\partial v}{\partial p_{i}} – \frac{\partial u}{\partial p_{i}} \frac{\partial v}{\partial q_{i}}\right)\)

dove \(u\) e \(v\) sono una qualunque coppia di grandezze fisiche per il sistema hamiltoniano descritto dalle coordinate canoniche \(q_{i}\) e \(p_{i}\). L’idea di Dirac si può sintetizzare come segue: le misteriose quantità \(xy – yx\) che compaiono nella nuova meccanica non sono altro che la versione quantistica delle parentesi di Poisson tra le grandezze classiche corrispondenti. Più precisamente, si ha la celebre regola di quantizzazione (\(\ast\))

\(\{x,y\} \rightarrow \frac{2\pi}{ih} (xy-yx)\)

Dirac si mette subito al lavoro e nel giro di qualche giorno riesce a dedurre questa regola dal principio di corrispondenza di Bohr (che tra l’altro non amava, ritenendolo poco rigoroso). Con la relazione fondamentale \((\ast)\) a sua disposizione, Dirac può formulare le leggi della nuova meccanica semplicemente “traducendo” le leggi della meccanica classica espresse nel formalismo di Poisson. Così ad esempio la relazione di commutazione tra le matrici \(p\) e \(q\), ottenuta da Born e Jordan nella maniera che sappiamo, è una immediata conseguenza dell’espressione delle parentesi di Posson tra le coordinate canoniche:

\(\{q_{i},q_{j}\} = 0 \qquad \{p_{i},p_{j}\} = 0 \qquad \{p_{i},q_{j}\} = \delta_{ij}\)

dove \(\delta_{ij}\) è il delta di Kronecker, che vale 1 quando \(i=j\) e zero altrimenti. Quanto all’equazione del moto per la grandezza \(x\), essa sarà

\(\frac{dx}{dt} = \frac{2\pi}{ih} [x,H]\)

di nuovo, del tutto analoga alla formula cui era arrivato Jordan per altre vie.

A Dirac non resta altro da fare che raccogliere tutti i risultati in un articolo, che intitolerà (con scarsa modestia…) Le equazioni fondamentali della meccanica dei quanti, e passarlo al suo supervisore. Fowler riconosce subito l’importanza del manoscritto e, oltre a inoltrarlo immediatamente ai celebri Proceedings della Royal Society, spinge perché venga pubblicato il più presto possibile. Così, appena tre settimane dopo la ricezione (che avviene il 7 di novembre), esso compare già a stampa come ultimissimo articolo del fascicolo di dicembre.

Nel frattempo Dirac manda una copia manoscritta del lavoro a Heisenberg, che lo riceve probabilmente verso metà novembre, mentre sta dando gli ultimi tocchi al Dreimännerarbeit (o subito dopo averlo terminato). Si tratta del classico fulmine a ciel sereno: a Göttingen tutti rimangono stupiti del fatto che un ignoto studente di dottorato inglese era stato in grado di ottenere, in maniera del tutto indipendente, i risultati su cui stavano lavorando da mesi! «Il nome Dirac mi era completamente sconosciuto» dirà Born qualche tempo dopo, «l’autore sembrava un giovane, eppure nel suo articolo ogni cosa era perfettamente a posto e ammirevole». Heisenberg stesso rimane decisamente impressionato; in particolare, come scriverà in una lettera a Bohr, lo colpiscono la semplicità dell’approccio adottato dall’inglese e la maggiore concisione del suo lavoro rispetto a quello di Born e Jordan.

Il 20 novembre Heisenberg prende carta e penna e risponde al suo “rivale”. La lettera in questione contiene molti complimenti, ma anche una brutta sorpresa per Dirac: oltre a congratularsi, infatti, Heisenberg gli fa presente che buona parte dei suoi risultati erano già stati ottenuti da Born, Jordan e lui stesso, come avrebbero testimoniato da lì a poco due articoli in via di pubblicazione sullo Zeitschrift für Physik. Tuttavia si affretta ad aggiungere che «ciò non rende assolutamente i suoi risultati meno importanti», in particolare per quanto riguarda la relazione con le parentesi di Poisson classiche (che manca completamente nei lavori della scuola di Göttingen).

Ovviamente Dirac ci rimane male per la questione della mancata priorità, ma è comunque soddisfatto per l’importante conferma di essere sulla pista giusta. (Se solo l’avesse saputo, Dirac avrebbe potuto consolarsi con l’idea di avere a sua volta battuto un altro giovane, John Slater, che in quello stesso periodo, lavorando a Harvard con Born, era arrivato alla medesima connessione tra parentesi di Poisson e commutatori quantistici.)

Dirac decide comunque di non impegnarsi più di tanto a studiare i lavori della scuola di Göttingen, preferendo invece proseguire per la sua strada, pur consapevole del fatto che ciò significa porsi in concorrenza, da soli, con l’intera truppa dei fisici tedeschi impegnati sull’argomento. Alla fine del 1925, il problema che la nuova meccanica deve affrontare è uno e uno solo: l’atomo di idrogeno. Dirà successivamente l’americano John van Vleck:

Aspettavo con ansia per vedere se qualcuno avrebbe mostrato che lo spettro dell’atomo di idrogeno veniva fuori con gli stessi livelli energetici della teoria di Bohr, perchè in caso contrario la nuova teoria sarebbe stata una delusione.

Questo è dunque il problema successivo che Dirac attacca. Ma ancora una volta, dovrà fare i conti con un temibile concorrente che risiede sulla sponda opposta del Mare del Nord… (continua)

Nelle ultime due puntate abbiamo assistito alla nascita e ai primi passi della meccanica quantistica nella sua prima incarnazione, quella che diventerà nota con il nome di meccanica delle matrici. Il tutto è avvenuto in maniera sorprendentemente rapida, tanto che a metà del settembre 1925 i tempi sono già maturi per una prima esposizione sistematica della nuova teoria. Fino a questo momento i tre protagonisti principali della nostra storia, ovvero Heisenberg, Born e Jordan, hanno agito per lo più separatamente; li ritroveremo ora a lavorare di concerto per mettere assieme i pezzi del puzzle e formare un quadro coerente. Il risultato sarà un celebre articolo firmato da tutti e tre, che per questo motivo è ricordato nella storia della fisica semplicemente come il Dreimännerarbeit.

Prima di descrivere questi sviluppi, però, torniamo per un attimo a Heisenberg, che abbiamo un po’ perso di vista a seguito della sua precipitosa partenza da Göttingen subito dopo la consegna del manoscritto a Born. La sua destinazione è Cambridge, dove è stato invitato a tenere un ciclo di seminari presso il Cavendish Laboratory. Quest’ultimo è da circa 50 anni il centro indiscusso della fisica inglese: basti pensare che, dalla data della sua fondazione fino a quel momento, la posizione di direttore del dipartimento è stata occupata, nell’ordine, da Maxwell, Rayleigh, J. J. Thomson per finire nientemeno che con il grande Rutherford.

Heisenberg arriva dunque a Cambridge dove è ospite di Ralph Fowler, trentaseienne fisico originario dell’Essex, genero di Rutherford e fresco di nomina a Fellow della Royal Society; i due si erano conosciuti qualche tempo prima a Copenhagen, dove erano stati entrambi ospiti dell’istituto di Bohr. Durante il suo soggiorno inglese Heisenberg tiene vari seminari su diversi argomenti di fisica atomica; il più importante è quello che si svolge il 28 luglio al «Kapitza Club», un ciclo di incontri a cadenza settimanale organizzato da Peter Kapitsa (futuro scopritore della superfluidità) che in quel momento è il direttore delle ricerche sul magnetismo al Cavendish. Il seminario, dal curioso titolo «Sulla zoologia dei termini spettrali e la botanica dell’effetto Zeeman», verte ancora una volta sulle difficoltà che si incontrano nell’organizzare i dati della spettroscopia atomica, ma nonostante la platea estremamente qualificata a cui si trova di fronte, o forse proprio per questo motivo, Heisenberg non fa alcun accenno alle idee contenute nel suo ultimo lavoro, presumibilmente perché non si sente ancora del tutto sicuro della loro correttezza. Tuttavia parla di queste idee privatamente con Fowler, che riesce a strappargli la promessa di farsi mandare una copia del suo manoscritto non appena possibile.

Terminata la parentesi inglese Heisenberg ritorna in Germania, ma non a Göttingen; si ferma infatti a Monaco, per qualche settimana di meritata vacanza a casa dei suoi genitori. Il primo indizio che, nel frattempo, qualcosa di molto grosso sta bollendo in pentola gli arriva a metà agosto, quando una lettera di Born gli chiede di mandare un’altra copia del suo articolo a Jordan. Heisenberg accetta di buon grado e ne approfitta per chiedere a quest’ultimo di essere messo al corrente degli sviluppi:

Ho saputo da Born che hai fatto grandi progressi riguardo la meccanica quantistica e naturalmente sarei interessato, anzi entusiasta, di sapere qualcosa dei tuoi risultati…

La risposta di Jordan (che non conosciamo) non placa la sete di dettagli di Heisenberg, che in una nuova lettera datata 10 settembre ritorna alla carica:

Caro Jordan! Mi ha fatto molto piacere sapere che pensi di aver trovato una dimostrazione della formula di Bohr per le frequenze, e ti prego di scrivermela il più presto possibile, direttamente a Copenhagen, poiché da dopodomani in avanti tornerò anch’io a dedicarmi alla fisica…

Infatti le vacanze per Heisenberg sono finite: le voci sull’importanza del suo ultimo lavoro sono giunte anche in Danimarca e Niels Bohr, che in quel momento si sente più che mai il padrino della fisica atomica, pensa bene di invitarlo per un mese nel suo istituto per farsi spiegare le novità direttamente dal loro autore.

Jordan risponde alla richiesta del suo collega con una bozza delle prime due sezioni di quello che, da lì a pochi giorni, diventerà il suo articolo con Born; bozza che Heisenberg trova ad aspettarlo al suo arrivo a Copenhagen, e legge d’un fiato. Il 13 settembre scrive a Jordan ringraziandolo per l’invio e annunciando a sua volta nuovi progressi da parte sua:

Essendo qui da due giorni non ho avuto modo di pensare più di tanto. Comunque mi è venuta in mente una deduzione molto semplice della teoria della dispersione di Kramers sulla base del nuovo formalismo…

Qui Heisenberg si riferisce alla teoria della diffusione della luce da parte degli atomi a cui lui stesso aveva lavorato con Kramers un anno prima. Nei conti che seguono, Heisenberg introduce due idee che si riveleranno molto importanti. Anzitutto abbozza una prima versione di quella che oggi conosciamo con il nome di teoria delle perturbazioni (al primo ordine): suppone cioè che l’hamiltoniana si possa scrivere come \(H = H_{0} + \lambda H_{1}\) e procede poi sviluppando tutte le quantità in gioco, a iniziare dalle matrici \(q\) e \(p\), come serie di potenze in \(\lambda\), il che rende fattibili i calcoli anche per sistemi più realistici di quelli, molto semplici, che aveva considerato nel suo articolo di giugno.

La seconda idea importante, presa per analogia dalla meccanica classica, è quella di trasformazione canonica. Heisenberg definisce tale concetto nel nuovo formalismo come una qualunque trasformazione delle matrici \(q\) e \(p\) che lascia invariata la quantità \(pq-qp\). Proprio come nella meccanica hamiltoniana ogni trasformazione canonica è generata da una funzione \(S\) delle coordinate \(q\) e \(p\), Heisenberg propone che nella nuova meccanica le trasformazioni canoniche siano generate da una matrice \(S\) tramite una formula \((\ast)\) del tipo

\(q = q_{0} + (Sq_{0} – q_{0}S) + \frac{1}{2} (S(Sq_{0} – q_{0}S) – (Sq_{0} – q_{0}S)S) + \dots\)

(con la serie che prosegue con un numero sempre maggiore di commutatori con \(S\)), e analogamente per \(p\). La relazione fondamentale \(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0} = h/2\pi i\) viene infatti preservata da tali trasformazioni. Il problema del moto diventa allora quello di trovare la trasformazione canonica, o meglio la sua matrice generatrice \(S\), che rende diagonale la matrice hamiltoniana \(H\); problema che Heisenberg riesce a risolvere, quantomeno formalmente, in teoria delle perturbazioni.

Il 15 settembre anche Born, conclusa la sua vacanza in Svizzera, fa il suo ritorno a Göttingen; comincia così una fitta corrispondenza tra la cittadina sassone e la capitale danese, che ben presto si allarga anche ad Amburgo, dove Pauli è come sempre in costante contatto con l’amico/collega/rivale Heisenberg.

Non tutto fila liscio sin dal principio, comunque. Ad esempio, Born resta perplesso dal fatto che Heisenberg, nei suoi conti, abbia considerato solo trasformazioni lineari nelle matrici di partenza \(q_{0}\) e \(p_{0}\). Secondo Born, la cosa più naturale da farsi è invece utilizzare una generica trasformazione di similitudine:

\(q = Tq_{0}T^{-1}\) e \(p = Tp_{0}T^{-1}\)

Risulta allora \(pq-qp = T(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0})T^{-1}\), quindi se \(p_{0}q_{0} – q_{0}p_{0}\) è un multiplo della matrice identità allora lo è anche \(pq-qp\). Ciò dimostra che tutte le trasformazioni di similitudine sono canoniche nel senso definito da Heisenberg.

Alla fine di settembre Heisenberg realizza che le “sue” trasformazioni canoniche sono in realtà un caso particolare (o meglio, “infinitesimo”) di quelle di Born: infatti prendendo \(T = e^{S}\) queste ultime si scrivono

\(q = e^{S} q_{0} e^{-S}\)

e sostituendo l’esponenziale matriciale con la sua espansione in serie di potenze si ottiene proprio la legge di trasformazione \((\ast)\) (e similmente per \(p\)).

Con questa nuova arma nel loro arsenale, i nostri tre eroi possono finalmente attaccare il problema generale dell’integrazione delle equazioni del moto. Come abbiamo già accennato, ciò corrisponde al cercare una «trasformazione agli assi principali» per la matrice \(H\), ovvero (in termini più moderni) una base in cui l’operatore hamiltoniano sia diagonale. Qui Born è in vantaggio rispetto ai suoi due giovani colleghi grazie alla sua familiarità con la teoria delle forme quadratiche su spazi di dimensione infinita sviluppata qualche anno prima da Hilbert (del quale, come sappiamo, Born era stato assistente) e Hellinger.

Nella prima metà di ottobre Born si mette febbrilmente al lavoro su un manoscritto (che diventerà il terzo capitolo del Dreimännerarbeit) in cui delinea l’applicazione di questa teoria alla nuova meccanica. La fretta è motivata anche dal fatto che entro la fine del mese deve partire per gli Stati Uniti, dove è stato invitato dal MIT per tenere delle lezioni durante il semestre invernale. Queste settimane di intenso lavoro vengono ripagate dalla scoperta del legame fondamentale tra gli autovalori della matrice hamiltoniana e lo spettro delle energie permesse per il corrispondente sistema quantistico. E qui non posso non sottolineare una delle coincidenze più sorprendenti della storia della scienza: infatti l’insieme degli autovalori di una matrice, oggi come allora, è noto proprio con il termine di spettro, che era stato introdotto da Hilbert diversi anni prima… senza minimamente sospettare che ciò avesse nulla a che vedere con gli spettri della fisica atomica!

Born capisce dunque che per stabilire quali sono le energie permesse per un sistema quantistico occorre risolvere un problema agli autovalori. C’è però un problema: la teoria spettrale di Hilbert è valida solo per una certa classe di matrici, ovvero quelle associate a operatori limitati, e sfortunatamente le matrici che si incontrano nella nuova meccanica non sono di questo tipo. Ma Born non fa una piega: con un atto di coraggio, o per meglio dire di incoscienza matematica tipico dei fisici teorici, afferma in una nota a pié di pagina che “nonostante ciò possiamo assumere che essenzialmente gli stessi risultati siano validi” anche per gli operatori non limitati! (Ci vorrà un pezzo da 90 come von Neumann per confermare questa intuizione, alcuni anni dopo, con il teorema spettrale per operatori autoaggiunti; ma questo è materiale per un’altra puntata.)

Heisenberg ritorna a Göttingen tra il 18 e il 20 di ottobre portando con sé la bozza di quelli che diventeranno (parte de) i primi due capitoli del Dreimännerarbeit. Come d’abitudine ne spedisce una copia anche a Pauli, al quale scrive:

Ora come ora sono talmente impegnato con la meccanica quantistica che dubito fortemente che il problema di scrivere questo «articolo a tre» avrà mai una soluzione in un tempo finito. Ad ogni modo mi farebbe molto piacere avere una tua opinione sulla bozza, anche se al momento è pronta solo per un terzo circa, il che è abbastanza terribile.

Appena arrivato Heisenberg si mette subito al lavoro con Jordan per sviluppare la teoria del momento angolare nella nuova meccanica (importante per spiegare ad esempio l’effetto Zeeman); i risultati andranno a costituire il nucleo del quarto (e ultimo) capitolo del Dreimännerarbeit. Pochi giorni dopo (28 ottobre) Born, dopo aver completato la sua parte, può finalmente partire per l’America lasciando la stesura definitiva dell’articolo nelle mani dei suoi due allievi. La revisione finale del lavoro, e soprattutto la stesura dell’introduzione (da sempre la parte più importante di un articolo scientifico), sarà però opera esclusivamente di Heisenberg, che ne approfitta per ribadire le idee fisiche che stanno alla base della nuova teoria (prima tra tutte la sostituzione dei concetti «visuali» classici come posizione e velocità con quantità non visualizzabili ma con un significato operativo diretto), anche per bilanciare quella che avvertiva come un’eccessiva importanza data al formalismo matematico dai suoi due collaboratori. Illuminante al proposito è la seguente citazione tratta dall’ennesima lettera a Pauli:

Ho fatto ogni sforzo per rendere il lavoro più fisico, e alla fine sono abbastanza soddisfatto del risultato. Ma sono ancora piuttosto scontento riguardo la teoria nel suo complesso, e sono felice che tu sia così decisamente dalla mia parte riguardo al rapporto tra fisica e matematica. Qui mi trovo in un ambiente che la pensa esattamente in maniera opposta e non so se sono semplicemente troppo stupido per capire la matematica. Göttingen è divisa in due fazioni: una che parla, come Hilbert, dell’ingresso delle matrici in fisica come di un grande successo; l’altra che sostiene, come Franck, che le matrici non saranno mai capite.

A metà novembre il manoscritto viene finalmente spedito al solito Zeitschrift für Physik (sarà ricevuto il 16) con il titolo Zur Quantenmechanik II, a sottolineare il suo ruolo di continuazione del precedente articolo di Born e Jordan; sarà pubblicato nell’agosto del 1926. Ma nel frattempo, all’insaputa di tutti e tre gli autori del Dreimännerarbeit c’era un’altra persona, in un altro Paese, che stava arrivando ai loro stessi risultati… (continua)

Prima di proseguire il racconto, però, è opportuno approfondire per un momento la figura di Max Born, che può a buon diritto essere considerato un esponente di quella stirpe (oggi estinta) di “universalisti” in grado di portare contributi di grande valore in tanti rami diversi della fisica. Nato l’11 dicembre 1882 a Breslau (che oggi si chiama Wrocław e si trova in Polonia, ma in quel momento fa parte della Prussia) da una famiglia di solide tradizioni accademiche nel campo della medicina, il giovane Born fa capire subito di voler essere un degno erede quando, al primo anno di università, segue con disinvoltura corsi di matematica, fisica, chimica, logica, filosofia e persino zoologia. La sua materia preferita è però l’astronomia, tanto che a un certo punto diventa un frequentatore abituale dell’Osservatorio della città; ma l’ipotesi di diventare un astronomo viene scartata non appena si rende conto della quantità di noiosi calcoli numerici che la professione comporta (non credo ci sia bisogno di ricordare che nel 1901 non esistevano calcolatrici, al massimo i regoli calcolatori).

La svolta nella sua carriera universitaria arriva qualche anno più tardi quando, discutendo con alcuni suoi colleghi di corso (tra cui gente del calibro di Toeplitz e Hellinger), scopre che il posto dove andare in Germania per imparare la matematica è Göttingen, dove si trasferisce nel 1904. Qui giunto entra subito in contatto con Hermann Minkowski, grazie a un improbabile legame familiare (pare infatti che Minkowski e la matrigna di Born si conoscessero per aver frequentato anni prima il medesimo corso di ballo), e di conseguenza con il grande amico di Minkowski, David Hilbert, da cui riceve l’importante incarico di trascrivere gli appunti delle sue lezioni. Sfortunatamente i rapporti con il capo del dipartimento, Felix Klein, non sono altrettanto cordiali, in parte perché Born non è (diciamo così) un frequentatore assiduo delle sue lezioni; ma non essere nelle grazie di Klein rappresenta in quegli anni a Göttingen un discreto problema, perché l’esame di dottorato è tenuto, per la parte relativa alla geometria, proprio da Klein!

Fiutando una brutta aria, Born decide così di eliminare la geometria dal suo piano di studi sostituendola con l’astronomia, passione che aveva continuato a coltivare anche nella nuova università seguendo un corso tenuto da Karl Schwarzschild (sì, quello dei buchi neri). Grazie a questo escamotage il giorno dell’esame non si troverà più di fronte Klein ma lo stesso Hilbert, dal quale si reca qualche giorno prima con la speranza di avere qualche dritta. «In quale area della matematica ti senti meno preparato?» gli chiede Hilbert. «La teoria degli ideali» confessa Born, che si riferisce all’antenata di quella che oggi chiamiamo algebra commutativa. Hilbert fa un cenno di assenso e se ne va, e Born tira un sospiro di sollievo assumendo (come penso avrebbe fatto chiunque al suo posto) che il suo maestro non gli farà domande su quell’argomento. Il giorno dell’esame, però, tutte le domande di Hilbert sono di algebra commutativa! Alla successiva richiesta di chiarimenti, Hilbert candidamente spiega: «volevo solo capire quanto ne sai sulle cose di cui pensi di non sapere nulla». Decisamente, Hilbert era uno fatto alla sua maniera (e ne riparleremo in futuro).

Ad ogni modo l’esame è superato, e Born può così ricevere il dottorato (siamo nel 1906) con una tesi in cui risolve un problema di stabilità nella teoria dei mezzi elastici. Subito dopo è costretto a partire per il servizio di leva, durante il quale sviluppa un genuino disgusto per tutto ciò che ha a che fare con i militari; fortunatamente viene congedato dopo soli quattro mesi “grazie” ai suoi problemi di asma. Al suo ritorno si trasferisce per qualche mese a Cambridge dove rimane impressionato dalle lezioni di J. J. Thomson, lo scopritore dell’elettrone; nasce così in lui l’idea di abbandonare la matematica per la fisica, e addirittura di darsi alla fisica sperimentale. Tornato nella natia Breslau si dirige pertanto senza esitazioni all’istituto di fisica, che in quel momento è diretto da tal Otto Lummer, specialista nello studio della radiazione termica. Lummer accoglie il nuovo arrivato affidandogli un esemplare di “corpo nero”, che si rivela essere «un tubo di porcellana con un’attrezzatura per riscaldarlo, montato su di un tavolo con un fornello a gas e un sistema di raffreddamento ad acqua tutto attorno». La promettente carriera da sperimentale di Born è però destinata a interrompersi qualche giorno dopo, quando a seguito di un piccolo contrattempo con il sistema di raffreddamento il laboratorio viene completamente allagato.

Intuendo da questo episodio che quella sperimentale non è la sua strada, Born si dedica nuovamente agli studi teorici, e nel 1908 si imbatte nei recenti articoli di Einstein sulla relatività speciale, che lo affascinano immediatamente. Per chiarire alcuni punti a lui oscuri Born chiede aiuto al suo mentore Minkowski, che sa essere a sua volta molto interessato alla relatività. Quest’ultimo dal canto suo pensa bene di invitarlo a Göttingen per lavorare assieme sulla nuova teoria; purtroppo però l’improvvisa morte di Minkowski all’inizio del 1909 mette bruscamente la parola fine a questo progetto. Dopo qualche anno passato a riorganizzare e pubblicare i manoscritti sulla relatività lasciati incompiuti da Minkowski, nel 1912 comincia per Born una nuova fase della sua carriera scientifica allorché la stanza accanto alla sua della pensione in cui abita a Göttingen viene occupata da Theodore von Kármán, con il quale scriverà alcuni importanti lavori sulla dinamica dei solidi cristallini.

Nel 1914 arriva una chiamata dall’università di Berlino, che ovviamente Born accetta; qui conosce di persona Einstein, con cui stringe una profonda amicizia, e continua a produrre importanti lavori in fisica della materia e teoria cinetica. Nel 1919 accetta un posto da professore ordinario a Francoforte, dove in quegli anni opera Otto Stern; ha così modo di rimanere costantemente aggiornato sulle verifiche sperimentali della teoria dei quanti. Nel 1921 si materializza però l’occasione di tornare ancora una volta a Göttingen, dove gli viene offerta nientemeno che la posizione di direttore dell’istituto di fisica in sostituzione di Peter Debye, che si è appena trasferito all’ETH di Zurigo.

Sorprendentemente, all’inizio Born tentenna: non è sicuro di essere in grado di dirigere da solo un istituto così grande, soprattutto per quanto riguarda la parte sperimentale (forse ricordando i suoi disastrosi trascorsi di laboratorio). Durante una visita al ministero dell’istruzione a Berlino, però, Born si accorge di un particolare. Nel documento ufficiale riguardante la situazione dell’istituto di fisica di Göttingen sono elencate tre cattedre: quella “ordinaria” appena lasciata libera da Debye e altre due “straordinarie” occupate da Pohl e Voigt. Quest’ultimo era stato ordinario prima di Debye ma aveva scelto di andare in pensione nel 1914 (liberando così una posizione per il collega più giovane) mantenendo però un posto da professore “personale” valido fino alla sua morte, che era infine sopraggiunta qualche mese prima. Per l’errore di un copista, però, la dicitura «da eliminarsi alla morte dell’occupante» era stata inserita alla riga sbagliata, cosicché si riferiva in realtà alla cattedra di Pohl, in quel momento vivo e in ottima salute! Ricordando quella situazione molti anni dopo, Born dirà:

In genere non sono un tipo molto rapido ad approfittare delle occasioni, ma in quel caso lo fui.

È divertente immaginare Born che rampogna il solerte impiegato del ministero: «guardi meglio, le cattedre libere sono due, non una». In realtà, al ministero si rendono perfettamente conto che si tratta di un refuso; ma probabilmente si rendono anche conto dello stato misero in cui versa il sistema universitario tedesco dopo la prima guerra mondiale, e forse decidono che una posizione di professore in più in una delle università più prestigiose dell’epoca pre-bellica non può che migliorare la situazione. Com’è, come non è, i soldi per la seconda cattedra arrivano e Born suggerisce immediatamente di utilizzarli per chiamare il suo amico e coetaneo James Franck, a cui può demandare l’organizzazione del reparto sperimentale dell’istituto, accettando nel contempo il posto di direttore. In questo modo un po’ rocambolesco si forma l’accoppiata che guiderà la ricerca sulla teoria dei quanti a Göttingen fino alla grande diaspora del 1933.

Siamo così ritornati al punto di partenza, ovvero all’estate del 1925. Born, che a 43 anni è ormai una delle figure di riferimento della fisica teorica tedesca, si trova dunque tra le mani quel manoscritto che lui stesso definisce «molto mistico ma sicuramente corretto e profondo». Tra tutti i particolari (più o meno mistici) del lavoro di Heisenberg, quello che più colpisce Born è sicuramente la sua strana formula per il prodotto di due insiemi di ampiezze di transizione. Born è sicuro di aver già visto qualcosa del genere in passato, ma lì per lì non riesce a mettere a fuoco in quale occasione, e questo pensiero lo tormenta per diversi giorni (e notti). Finalmente, un mattino, arriva l’illuminazione: la misteriosa regola di Heisenberg non è altro che il prodotto “righe per colonne” tra matrici che gli era stato insegnato più di vent’anni prima, ai tempi degli studi universitari a Breslau, da tale Jacob Rosanes, maestro di scacchi e (particolare più rilevante in questa sede) valente algebrista, allievo del più famoso Ferdinand Frobenius. E qui è necessaria una piccola digressione.

Le matrici, intese come tabelle rettangolari di numeri utilizzate come ausilio per la soluzione dei sistemi di equazioni lineari, erano note in Occidente sin dai tempi di Leibniz (fine ‘600); tuttavia esse vengono considerate come oggetti di studio in sé solo a partire dal 1858, anno di pubblicazione di una importante memoria sull’argomento scritta da Arthur Cayley. Nel 1925 dunque le matrici, e soprattutto l’algebra non commutativa che esse formano, sono una nozione relativamente nuova e sicuramente poco conosciuta, anche tra i matematici (e figuriamoci tra i fisici). Per uno studente di oggi, che magari le conosce sin dal liceo, è difficile pensare alle matrici come a un argomento esoterico; ma questa, come vedremo, era la percezione che si aveva a quel tempo.

Born è dunque uno dei pochissimi fisici dell’epoca ad avere una certa familiarità con questi oggetti, e intuisce subito che essi possono fornire una prima chiave per dissipare un po’ della mistica del lavoro di Heisenberg. Più in dettaglio, Born si accorge che introducendo due matrici \(q\) e \(p\) che corrispondono, rispettivamente, alla posizione e alla quantità di moto classiche, le condizioni di quantizzazione (nella forma datane da Heisenberg) si scrivono

\(\sum_{k} (p_{nk} q_{kn} – q_{nk} p_{kn}) = \frac{h}{2\pi i}\)

ovvero, si traducono nell’affermazione che le componenti diagonali della matrice \(pq – qp\) sono pari a \(\frac{h}{2\pi i}\). Ma che ne è degli elementi non diagonali? Ripercorrendo i passaggi dell’articolo di Heisenberg, Born ha l’impressione che l’unico valore sensato per tali elementi sia zero, il che porterebbe alla “strana” equazione

\(pq – qp = \frac{h}{2\pi i} I\)

ma non è in grado di darne una dimostrazione. Mentre è immerso in questi pensieri, il 19 luglio si reca ad Hannover per un congresso della società tedesca di fisica, dove incontra Pauli. Subito propone al suo ex studente di collaborare con lui al problema; ma Pauli, che come vedremo ha opinioni molto nette riguardo all’uso della matematica in fisica, rifiuta (nel pieno del suo stile) sarcasticamente:

Sì, so che tu hai una passione per i formalismi noiosi e complicati. L’unico risultato che otterrai sarà quello di rovinare le idee fisiche di Heisenberg con la tua inutile matematica.

Fortunatamente Born, una volta tornato a Göttingen, trova la persona giusta al momento giusto: il suo nome è Jordan, Pascual Jordan (da non confondersi con Camille Jordan, matematico francese celebre per aver dimostrato che una curva chiusa tracciata su un piano lo separa in due parti, e neanche con Michael Jordan, cestista americano celebre per aver dimostrato che è possibile vincere sei titoli NBA in otto stagioni saltandone una e mezza).

Ma chi è questo Pascual Jordan? Per scoprirlo dobbiamo tornare indietro di più di un secolo, allorquando tale Pascual Jorda, esponente di una famiglia nobile spagnola originario di Alcoy in Alicante, presta servizio da ufficiale di cavalleria agli ordini di Wellington nell’esercito della coalizione che combatte contro Napoleone. Dopo la definitiva sconfitta di quest’ultimo a Waterloo, Jorda viene ricompensato con delle terre ad Hannover, che in quel momento è controllata (e non per caso) dalla casa reale inglese. Jorda si trasferisce così con tutta la famiglia in Germania, dove cambieranno il cognome in Jordan (pronunciato alla tedesca, quindi “Iordan”) ma manterranno la tradizione secondo cui il primogenito di ogni generazione deve essere chiamato Pascual. Alla terza iterazione di questo algoritmo troviamo il Pasquale che interessa a noi.

Nato il 18 ottobre 1902, e quindi poco meno di un anno più giovane di Heisenberg, Jordan si iscrive all’università di Hannover nel 1921 con l’intenzione di perseguire una carriera scientifica, anche se non ha ancora scelto in quale campo; curiosamente, proprio come Born segue corsi che spaziano dalla matematica alla zoologia. Anche in questo caso, però, sarà determinante il suo trasferimento a Göttingen nel 1923, dove diventa assistente del matematico Richard Courant. In quel momento Courant sta lavorando alacremente al primo volume di quello che diventerà una classico della fisica matematica, il Courant-Hilbert, e accoglie con grande piacere le forze fresche portate dal nuovo arrivato; Jordan, dal canto suo, aiutando Courant ha la possibilità di assimilare velocemente un vasto patrimonio di conoscenze nei metodi matematici della fisica, tra cui l’algebra delle matrici. Nel frattempo comunque non trascura i suoi studi universitari, ottenendo il dottorato nel 1924 con una tesi sulla teoria cinetica dei gas di fotoni.

L’anno successivo Jordan diventa assistente di Born all’istituto di fisica; il primo progetto a cui si dedicano i due è una rivisitazione dei vecchi lavori di Planck sullo spettro del corpo nero da cui, 25 anni prima, era partito tutto. È in questa occasione che Born matura l’idea secondo cui le ampiezze di transizione possono giocare il ruolo di variabili dinamiche alla base della nuova meccanica; ma sarà Heisenberg a scoprire, nella maniera che sappiamo, il meccanismo con cui realizzare in concreto quest’idea. Il 20 luglio Born, che è appena tornato da Hannover dove ha dovuto incassare il rifiuto di Pauli a collaborare con lui, si rivolge al suo assistente e lo mette al corrente delle sue idee riguardo alla traduzione delle condizioni di quantizzazione di Heisenberg in termini di matrici. Jordan accetta immediatamente la sfida e nel giro di pochi giorni risolve, di fatto, il problema che gli era stato posto dimostrando che la matrice \(pq-qp\) può effettivamente essere presa diagonale, poiché tale condizione è compatibile con le equazioni del moto. Questo argomento, seppur non definitivo, è sufficiente perché Born si convinca di essere sulla strada giusta:

Non dimenticherò mai l’emozione che ho provato quando mi sono reso conto di essere riuscito a condensare le idee di Heisenberg sulle condizioni di quantizzazione nella misteriosa equazione \(pq – qp = h/2\pi i\).

I due si mettono immediatamente al lavoro per tradurre sistematicamente il lavoro di Heisenberg (che nel frattempo è partito per l’Inghilterra) nel nuovo linguaggio. Grazie all’abilità di Jordan nel calcolo matriciale, i risultati si susseguono uno dopo l’altro: la dimostrazione della validità del principio di conservazione dell’energia (che così tanto aveva preoccupato Heisenberg), la deduzione della formula di Bohr \(E_{n} – E_{m} = h\nu_{nm}\) per la frequenza di una transizione, e addirittura un primo tentativo di quantizzazione del campo elettromagnetico, anch’esso visto in termini di matrici. In tutti questi sviluppi Born gioca un ruolo sempre più marginale, tanto che a un certo punto se ne va proprio (resterà per un mese in vacanza a Silvaplana, in Val Engadina), lasciando al suo assistente la responsabilità di raccogliere i risultati ottenuti in un articolo. Visto che a Göttingen non c’è più nessuno (anche Heisenberg, di ritorno da Cambridge, è andato direttamente a casa sua a Monaco), a Jordan non resta altro da fare che tornarsene ad Hannover e dedicarsi anima e corpo alla stesura del manoscritto.

(Jordan ha però, all’insaputa di tutti i suoi colleghi, una seconda identità. In questi stessi anni in cui lavora alla nascente meccanica quantistica è anche autore, sotto pseudonimo, di bellicosi articoli di giornale dai toni fortemente nazionalistici, con appelli alla ricusazione del trattato di Versailles con i francesi e alla guerra contro i comunisti in Russia. Da questo punto di vista è difficile immaginare una differenza di vedute più grande rispetto a quelle di Born, che come abbiamo visto odiava qualunque cosa avesse a che fare con i militari. Queste idee politiche lo renderanno, negli anni successivi, una facile preda della propaganda nazista, tanto che si iscriverà al partito nel 1933 e diventerà addirittura una camicia marrone. Ma questa, come si suol dire, è un’altra storia, e non è questo il momento di raccontarla.)

Quando Born e Jordan si reincontrano a Göttingen a metà settembre, la bozza dell’articolo è pronta; Born ci dà una rapida occhiata e, senza perdere tempo, spedisce il tutto allo Zeitschrift für Physik mettendo come titolo un semplicissimo Zur Quantenmechanik. Il manoscritto sarà ricevuto il 27 settembre (appena 60 giorni dopo quello di Heisenberg!) e pubblicato nel dicembre 1925; ma di questo, e della reazione di Heisenberg ai nuovi sviluppi ottenuti dai suoi colleghi, parleremo con più calma nella prossima puntata. (continua)

Nel 1914 frequenta il ginnasio a Monaco quando scoppia la prima guerra mondiale: l’edificio viene occupato dall’esercito e la normale vita scolastica viene sconvolta. Heisenberg ne approfitta per studiare per conto suo (e forse con risultati migliori) le materie che più lo interessano, ovvero fisica e matematica; in quest’ultima riesce particolarmente bene, tanto che a 15 anni fa da tutore (oggi diremmo che dà ripetizioni) di analisi a un amico di famiglia che frequenta il primo anno di università.

Quanto fosse difficile essere adolescenti in Germania durante quegli anni si può intuire da un paio di aneddoti. Con il protrarsi della guerra e l’aumentare delle vittime il numero di soldati abili nell’esercito cala drammaticamente, e così un bel giorno il giovane Heisenberg e tutti i suoi compagni di classe vengono arruolati all’interno di un’organizzazione paramilitare e sottoposti a un vero e proprio addestramento in vista del futuro impiego al fronte. Fortunatamente nel 1918 la guerra finisce, ma la situazione in Germania è comunque instabile per via delle insurrezioni comuniste ispirate dalla rivoluzione di Ottobre in Russia. Il gruppo paramilitare entra quindi ugualmente in azione, non sul fronte francese ma per le strade di Monaco. Heisenberg scriverà in seguito riguardo a quell’esperienza:

Ero un ragazzo di 17 anni e la presi come una sorta di avventura. Era come giocare a guardie e ladri…

Il secondo aneddoto riguarda l’estate del 1918, in cui Heisenberg viene inserito in un’altra associazione «volontaria» e spedito in una fattoria dell’hinterland bavarese a lavorare i campi rimasti incolti per la carenza di manodopera; compito reso ancora più duro dal razionamento del cibo dovuto alla guerra. Heisenberg passa il (poco) tempo lasciatogli libero dalla zappa giocando a scacchi con i suoi sventurati compagni, leggendo qualche libro di matematica che aveva portato con sé e tentando vanamente di dimostrare l’ultimo teorema di Fermat.

Per fortuna la situazione piano piano si normalizza, il ginnasio riapre i battenti e nel 1920 Heisenberg può finalmente sostenere l’Abitur (l’analogo del nostro esame di maturità), che gli apre la strada per l’università. L’idea, peraltro facile da intuire visti i trascorsi, è quella di diventare un matematico e in particolare di occuparsi di teoria dei numeri. Non è probabilmente un caso che a Monaco insegni sin dal 1893 Ferdinand von Lindemann, vera e propria autorità in materia il cui nome, tra l’altro, è ricordato ancora oggi per essere stato il primo a dimostrare (nel 1882) che \(\pi\) è un numero trascendente.

Così, nell’ottobre del 1920, Heisenberg si reca da Lindemann per chiedergli di fungere da supervisore per i suoi studi universitari. Le premesse erano ottime visto che Lindemann, nel corso della sua lunga carriera, aveva seguito più di sessanta studenti di dottorato tra cui nientemeno che David Hilbert, semplicemente il più grande matematico dell’epoca (che incontreremo nelle puntate finali del nostro viaggio). Ma qui il destino ci mette per la prima volta lo zampino: Lindemann, che è a due anni dalla pensione e probabilmente non ha più voglia di impegnarsi in progetti di ricerca a lungo termine, decide di rifiutare l’offerta del giovane studente e gli suggerisce invece di rivolgersi a un suo ex allievo che, guarda caso, in quel momento dirige il dipartimento di fisica della medesima università… tale Arnold Sommerfeld, su cui a questo punto è il caso di spendere due parole.

Nel 1920 Sommerfeld ha 52 anni ed è ormai universalmente riconosciuto come uno dei padri fondatori della «teoria dei quanti». A sua volta un matematico di formazione, viene poi persuaso ad occuparsi di fisica per merito di Felix Klein, del quale era stato assistente a Gottingen alla fine del secolo precedente, e finisce per fondare dal nulla (come già ricordato) l’istituto di fisica a Monaco, nel quale dirige in prima persona anche gli esperimenti. Soprattutto, è un ottimo supervisore: come racconta l’amico Max Born,

…ha la rara abilità di trovare sempre del tempo da dedicare ai suoi studenti, nonostante i suoi doveri di insegnamento e di ricerca… Nella sua maniera amichevole e informale di insegnare, un ruolo importante avevano gli inviti a sciare al Sudelfeld, a due ore di treno da Monaco. Qui possedeva assieme al suo meccanico un rifugio. Alla sera, dopo una cena semplice, si lavavano i piatti, si discuteva del tempo e della neve e alla fine il discorso virava invariabilmente sulla fisica matematica; e per i suoi studenti più ricettivi si trattava di un’occasione d’oro per venire a conoscenza dei pensieri che giravano in testa al loro maestro.

Nel primo semestre di studi Heisenberg, forse non ancora del tutto convinto della scelta fatta, segue sia dei corsi di matematica che dei corsi di fisica; ma già all’inizio del secondo semestre decide di dedicarsi completamente a quest’ultima, tanto da superare anche lo scoglio dei corsi sperimentali obbligatori. Ben presto fa la conoscenza di un altro allievo di Sommerfeld, più vecchio di lui di poco più di un anno, e che tuttavia è già una sorta di celebrità nell’ambiente della fisica teorica tedesca; il suo nome è Wolfgang Pauli, e avremo modo di riparlare a lungo di lui in una delle prossime puntate. Comincia così un sodalizio che accomunerà i due, sia sul piano personale che su quello scientifico, per tutta la vita.

Nel frattempo passano i semestri e si avvicina il momento di iniziare l’attività di ricerca. Heisenberg è attratto dalla recentissima teoria della relatività, ma Pauli, che proprio in quel periodo sta scrivendo quello che diventerà il primo libro sulla nuova teoria, con notevole intuito gli suggerisce di lasciare perdere la relatività, in cui le previsioni vanno d’accordo con le osservazioni, e di dedicarsi invece alla fisica atomica, dove teoria ed esperimenti non collimano. Il primo articolo di Heisenberg (datato 17 dicembre 1921) riguarda quindi l’effetto Zeeman anomalo.

Nel giugno del 1922 Niels Bohr viene invitato a Gottingen per tenere un ciclo di lezioni sulla struttura degli atomi che verrà ribattezzato in modo semi-scherzoso il «Bohr Festspiele» (festival di Bohr). Si tratta di un vero e proprio evento, a cui partecipano un centinaio di fisici da tutta la Germania (e non solo: ad esempio Ehrenfest arriva da Leiden). Ovviamente è invitato anche Sommerfeld che decide di portare con sé Heisenberg, nonostante questi sia appena al suo quarto semestre di università. La visita si rivelerà decisiva sotto diversi punti di vista. Tanto per cominciare, Heisenberg è affascinato dall’ambiente di Gottingen, dove la teoria dei quanti è oggetto di intensa ricerca sia dal lato teorico (Born) che da quello sperimentale (Franck e collaboratori). Ma soprattutto, è impressionato da Bohr: dalle sue idee sulla struttura dell’atomo e ancor di più dal suo modo di fare fisica, molto diverso da quello del suo maestro Sommerfeld. Usando le categorie di oggi, potremmo dire che mentre il secondo era il prototipo del fisico matematico, il primo era invece un classico esponente della genia dei fisici teorici, per i quali le intuizioni contano molto di più delle dimostrazioni. Nelle parole di Heisenberg:

…dal modo in cui parlava della struttura atomica, ci si rendeva facilmente conto che da un punto di vista matematico non aveva dimostrato nulla; semplicemente, lui sapeva che le cose stavano più o meno così. […] Prendeva i suoi argomenti estremamente sul serio, e allo stesso tempo si rendeva conto di non poterli davvero dimostrare.

L’occasione per i due di fare conoscenza arriva in un modo un po’ particolare ma, credo, abbastanza tipico dei rapporti umani tra scienziati (di qualunque epoca). Durante la terza lezione, Bohr espone alcuni risultati del suo allievo e collaboratore Hendrik Kramers sull’effetto Stark quadratico. Heisenberg conosce bene quei risultati e non è convinto della loro correttezza, così al termine della lezione affronta Bohr e gli espone le sue perplessità. Lì per lì Bohr dà una risposta evasiva, ma si capisce che anche lui ha intuito la serietà dell’obiezione. Terminate le discussioni Bohr, evidentemente impressionato dalla perspicacia del giovane studente, ritorna da Heisenberg e lo invita a una passeggiata con lui nei boschi della vicina collina dell’Hainberg. La passeggiata in questione durerà ben tre ore, durante le quali i due, oltre a godere della splendida vista su Gottingen,

avranno modo di discutere in dettaglio su i numerosi problemi aperti della fisica atomica. Heisenberg scopre così che persino il fondatore della teoria dei quanti è profondamente preoccupato dalle difficoltà che essa incontra nello spiegare i dati sperimentali. Un messaggio importante che Heisenberg porta a casa da questo colloquio è che la conoscenza della natura deve sempre partire dai fenomeni, e solo in un momento successivo può essere fissata in uno schema formale; o, come ama dire Bohr, ciascuna situazione sperimentale deve essere descritta tramite concetti che si adattino ad essa.

Nel semestre invernale 1922/23 Sommerfeld parte per gli Stati Uniti, non prima di aver lasciato al suo allievo un problema di idrodinamica classica a cui lavorare per la tesi. Heisenberg, dopo aver ottenuto alcuni risultati preliminari su questo argomento, è impaziente di tornare a occuparsi di fisica atomica e si trasferisce armi e bagagli a Gottingen per lavorare con Born. I due si dedicano a una delle più spinose questioni irrisolte del momento: la descrizione quantistica degli atomi con più di un elettrone, e in special modo dell’elio, che pur sembrando non troppo più complicato dell’idrogeno si era fino a quel momento dimostrato refrattario a qualunque tentativo. Born ha però una nuova idea per attaccare il problema: mettere in campo la teoria delle perturbazioni, con la quale era familiare grazie a lavori precedenti sulla dinamica dei solidi cristallini. Sfortunatamente, anche questo nuovo approccio non riesce a riprodurre lo spettro dell’elio in maniera corretta; si fa così strada nei due l’idea che per compiere ulteriori progressi sia necessario alterare in maniera radicale qualcuno dei presupposti alla base del modello di Bohr-Sommerfeld. In un articolo del 1924 Born propone addirittura un nome per questa nuova (e ancora sconosciuta) teoria: Quantenmechanik.

Intanto, nell’estate del 1923, Heisenberg ritorna a Monaco, conclude la sua tesi di idrodinamica e supera (nonostante qualche difficoltà nella parte sperimentale) l’esame di dottorato. Dopo una vacanza di un mesetto in Finlandia lo ritroviamo nuovamente a Gottingen nell’ottobre del 1923, dove continua a lavorare con Born; questa volta l’oggetto di studio è lo spettro delle molecole complesse, dove i loro metodi danno risultati almeno qualitativamente corretti. Il 28 luglio 1924 riceve l’abilitazione che gli permette di insegnare nelle università tedesche. Subito dopo però si materializza, grazie a una borsa di studio Rockefeller, la possibilità di trascorrere nove mesi a Copenhagen da Bohr e Kramers, che Heisenberg coglie al volo. Durante questo soggiorno scrive con Kramers un articolo sulla diffusione della luce da parte degli atomi (5 gennaio 1925) che, come vedremo, giocherà un ruolo importante più avanti.

Siamo così arrivati, finalmente, alla fatidica primavera del ’25. Heisenberg è tornato a Gottingen, dove è Privatdozent, e nel frattempo cerca di ottenere sulla base della teoria dei quanti una formula che descriva l’intensità delle righe spettrali dell’idrogeno, ma senza successo. Guidato da quell’attitudine “rivoluzionaria” di cui abbiamo già parlato, decide allora di provare a modificare l’apparato concettuale della teoria di Bohr in un senso ancora più radicale, abbandonando ogni pretesa di descrizione dell’atomo in termini classici.

In particolare Heisenberg comincia a guardare con sospetto all’idea che nozioni quali posizione e velocità si possano applicare ai costituenti dell’atomo, per esempio agli elettroni. La ragione di ciò (almeno in questo momento, cioè nel maggio del 1925; successivamente le cose cambieranno) è non tanto e non solo l’impossibilità di una misura diretta di tali grandezze, visto che tale circostanza potrebbe essere puramente accidentale (il progresso della tecnica può infatti rendere possibili misure che in un certo momento storico appaiono impossibili). Piuttosto, un motivo ben più valido per rigettare i concetti classici è che, semplicemente, le teorie costruite basandosi su di essi non funzionano, cioè non riproducono i risultati sperimentali. In altre parole, Heisenberg qui mette in pratica il principio che Bohr stesso gli aveva insegnato tre anni prima durante quella passeggiata nei boschi attorno a Gottingen, secondo cui sono i concetti che devono adattarsi agli esperimenti e non viceversa.

Heisenberg decide così di cercare una descrizione dell’atomo in cui le quantità cinematiche classiche siano sostituite da grandezze che hanno un significato fisico diretto quali frequenza e intensità delle linee spettrali. Ma come procedere in concreto? Classicamente, la posizione di un punto materiale soggetto a un moto periodico si può esprimere tramite una serie di Fourier:

\(x(t) = \sum_{\alpha} x_{\alpha} e^{2\pi i \nu \alpha t}\)

Nella teoria dei quanti le ampiezze \(x_{\alpha}\) e la frequenza \(\nu\) dipendono anche da un numero naturale \(n\) («numero quantico»), e si ha quindi un’espressione del tipo

\(\sum_{\alpha} x_{n,\alpha} e^{2\pi i \nu_{n,\alpha} t}\)

e il principio di corrispondenza di Bohr afferma allora che un termine quale \(\nu_{n,n-\alpha}\) può essere interpretato come la frequenza della radiazione emessa in una transizione da \(n\) a \(n-\alpha\). L’idea di Heisenberg è quella di assumere che anche le ampiezze \(x_{n,n-\alpha}\) abbiano un significato analogo (legato stavolta all’intensità della radiazione emessa, che è data dal loro modulo quadro), e che l’insieme formato dalle quantità \(x_{n,n-\alpha}\) e \(\nu_{n,n-\alpha}\) possa giocare il ruolo che classicamente è ricoperto dalla posizione. (L’idea di considerare delle «ampiezze di transizione» tra livelli energetici come variabili dinamiche fondamentali era già presente nell’articolo di Born del 1924 citato in precedenza, a cui Heisenberg aveva collaborato.) A questo punto entra in gioco una nostra vecchia conoscenza, il principio di combinazione di Ritz, che in termini di frequenze si può scrivere come

\(\nu_{ik} = \nu_{ij} + \nu_{jk}\)

dove \(i,j,k\) è una qualunque terna di numeri quantici. Imponendo la validità di questa formula, Heisenberg arriva alla conclusione «quasi irrefutabile» secondo cui il prodotto di due insiemi di ampiezze di transizione \(x_{n,\alpha}\) e \(y_{n,\beta}\) si ottiene facendo uso della seguente “strana” regola:

\((xy)_{n,\alpha} = \sum_{\beta} x_{n,n-\beta} y_{n-\beta,n-\alpha}\)

In particolare il prodotto \(xy\) risulta essere, in generale, diverso dal prodotto \(yx\)! Heisenberg rimane molto perplesso da questa situazione, che non aveva mai incontrato fino a quel momento, ma non si lascia intimorire più di tanto e prova ad andare avanti. Ora, nella teoria di Bohr-Sommerfeld la soluzione di un problema dinamico si ottiene in due passi:  il primo consiste nel risolvere l’equazione (classica) del moto, il secondo nell’applicare le condizioni di quantizzazione. Con l’aiuto del dizionario messo a punto in precedenza, per Heisenberg non è difficile trasformare un’equazione del moto in una relazione tra ampiezze di transizione; ma la traduzione delle condizioni di quantizzazione è ben altro problema, e nessuna soluzione ovvia è in vista. Così, all’inizio di giugno, Heisenberg ha la sensazione di trovarsi a un punto morto.

Ma qui c’è un nuovo colpo di fortuna: Heisenberg è allergico. Caso vuole che la primavera del ’25 in bassa Sassonia sia particolarmente ricca di pollini, e di conseguenza il povero Werner è tormentato da quello che allora si chiamava raffreddore da fieno (e oggi chiameremmo rinite allergica). Il medico gli consiglia così di cambiare aria e trasferirsi per dieci giorni in Heligoland, una minuscola isola nel mare del Nord la cui posizione nell’immagine satellitare qui sotto ho ritenuto opportuno evidenziare con un riquadro rosso:

Da questa visuale aerea si può intuire quanto numerose e diverse siano le attrattive e le distrazioni offerte dal luogo:

Heisenberg può così dedicarsi per qualche giorno esclusivamente a riflettere sulla sua nuova meccanica, e finisce per compiere due passi in avanti fondamentali. Anzitutto riesce finalmente a reinterpretare nel suo schema le condizioni di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld, usando un trucco (la sostituzione di derivate con differenze) che aveva già impiegato nel suo articolo sulla diffusione della luce con Kramers. Scopre così che nel nuovo approccio le regole di quantizzazione diventano delle regole di somma, oltretutto equivalenti ad alcune relazioni già ottenute qualche mese prima da Kuhn e Thomas. Giunto a questo punto è finalmente in grado di applicare il formalismo a dei problemi concreti, e uno dei primi sistemi a cui si dedica è l’oscillatore armonico, per il quale ottiene quell’espressione dei livelli energetici

\(E = \frac{h\omega}{2\pi} (n + \frac{1}{2})\)

che oggi fa parte del bagaglio comune a ogni studente di fisica. Il risultato è significativo perché differisce dall’espressione prevista dalla vecchia teoria dei quanti, in cui manca l’addendo \(1/2\). Inoltre, dopo una notte di conti, riesce a dimostrare che l’energia del sistema risulta essere conservata nel tempo, il che è importante perché rappresenta una prima verifica della consistenza logica della nuova meccanica. E così, alle tre del mattino, terminati i calcoli ma troppo agitato per poter dormire,

…mi recai alla punta meridionale dell’isola, dove avevo da tempo voglia di scalare una roccia che sporgeva a picco sul mare. Nelle condizioni in cui mi trovavo fui in grado di farlo senza troppi problemi, e giunto in cima aspettai che sorgesse il sole…

Con la mente, e il naso, liberi il nostro eroe può così fare ritorno a Gottingen, non senza una fermata intermedia ad Amburgo, dove nel frattempo si era trasferito Pauli, per mettere al corrente l’amico dei nuovi sviluppi. Tornato finalmente a casa Heisenberg, ancora incerto sulla reale importanza del suo lavoro, prepara un articolo in cui espone per filo e per segno i risultati fin lì ottenuti e il 9 luglio lo spedisce a Pauli, pregandolo di fargli avere i suoi commenti in merito entro due o tre giorni. Il tempo stringe perché per la fine di luglio Heisenberg ha già accettato un invito a Cambridge per tenere una conferenza, e vuole a tutti i costi «finire l’articolo nei giorni che precedono la partenza, o gettare tutto nel fuoco».

Fortunatamente la risposta di Pauli non tarda ad arrivare ed è positiva (il che è già un fatto estremamente raro), così Heisenberg prende coraggio e il 12 luglio affida il manoscritto a Born (che fino a quel momento aveva tenuto all’oscuro di tutto) chiedendogli, nel caso lo ritenesse meritevole, di comunicarlo per la pubblicazione sullo Zeitschrift für Physik. (La peer-review a quell’epoca funzionava in una maniera un po’ diversa da quella di oggi…) Born, che in quel momento è esausto perché le lezioni del semestre estivo sono appena terminate, lì per lì posa il manoscritto sulla sua scrivania senza prestarvi troppa attenzione; ma qualche giorno dopo, quando finalmente gli dà un’occhiata, ne è letteralmente affascinato. La decisione se pubblicarlo o meno dev’essere stata facile se già il 15 luglio scrive, in una lettera all’amico Einstein,

Presto apparirà un nuovo articolo di Heisenberg; sembra molto mistico, ma è certamente corretto e profondo…

L’articolo,dal titolo Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen («Su una reinterpretazione quantistica delle relazioni cinematiche e meccaniche»), sarà ricevuto dalla rivista il 29 luglio e apparirà in stampa solo a dicembre di quell’anno; ma il suo contenuto si diffonderà molto più rapidamente, per mezzo di copie manoscritte (niente fotocopie a quei tempi!), lettere, seminari, etc., e metterà in moto una vera e propria rivoluzione a seguito della quale nulla, nella fisica atomica, sarà più come prima… (continua)

Il principale problema aperto è, naturalmente, quello di spiegare la struttura dell’atomo; i dati in proposito arrivano copiosi grazie al perfezionarsi di due diverse tecniche sperimentali di grande importanza. La prima è costituita dagli esperimenti di diffusione, o scattering, nei quali si studia in che modo fasci di particelle di vario tipo tra quelle allora note (alfa, beta, gamma) interagiscono con la materia. Ed è proprio dai risultati di un esperimento di diffusione con particelle alfa che Ernest Rutherford è in grado di dedurre, nel 1911, che la quasi totalità della massa di un atomo si trova concentrata in una regione di dimensioni relativamente piccole (dell’ordine di \(10^{-15}\) m per l’idrogeno) ed elettricamente carica, circondata da una carica uguale ed opposta distribuita all’interno di una sfera di raggio molto più grande (dell’ordine di \(10^{-10}\) m).

Emerge così il «modello planetario», secondo cui un atomo è composto da un nucleo centrale di carica \(Ze\) (dove \(Z\) è un numero intero, detto il numero atomico, mentre \(e\) è l’unità di carica elettrica, misurata per la prima volta da Millikan nel 1913) circondato da \(Z\) elettroni (scoperti da J. J. Thomson nel 1897) che “orbitano” attorno al nucleo come tanti pianeti attorno a una stella. Piccolo problema: secondo la meccanica classica, un sistema di questo tipo non è stabile! Gli elettroni, muovendosi all’interno del campo elettrico generato dal nucleo, dovrebbero infatti perdere progressivamente energia per irraggiamento fino a cadere sul nucleo. Questa difficoltà del modello fu chiara a tutti sin dal principio, ma si sperava che qualche fenomeno non ancora compreso potesse mettere a posto le cose.

La seconda tecnica che permette di dare un’occhiata all’interno degli atomi è la spettroscopia, che nasce come scienza a metà ‘800 con la scoperta, a opera di Bunsen e Kirchhoff, che ciascun elemento chimico ha un suo spettro di emissione caratteristico formato da una sequenza discreta di righe aventi lunghezza d’onda ben definita, come quelli mostrati nella figura qui sotto (presa impunemente da qui):

Ben presto si comincia a sospettare che queste righe possano fornire degli indizi sulla struttura interna di atomi e molecole; viene così accumulata una mole impressionante di dati sugli spettri delle varie sostanze, che però si rivelano essere talmente complicati da eludere qualunque tentativo di trovarvi delle regolarità. Gli sforzi si concentrano allora sullo spettro dell’atomo più semplice in assoluto: l’idrogeno.

Il primo a gettare un po’ di luce su questo enigma non è però un fisico ma un curioso personaggio di nome Johann Balmer. Costui, dopo aver concluso gli studi con un dottorato in matematica (disciplina nella quale non risulta aver lasciato tracce significative), finisce per passare la sua vita professionale come insegnante in una scuola secondaria femminile di Basilea. Avvicinandosi ai 60 anni e non avendo evidentemente nulla di meglio da fare per passare il tempo, decide di dedicarsi all’analisi dei dati spettroscopici. Questa scelta dà i suoi frutti quando, nel 1885, annuncia al mondo con orgoglio che la lunghezza d’onda delle quattro righe spettrali dell’idrogeno allora note si può ottenere sostituendo i valori di \(n\) da 3 a 6 nella seguente espressione:

\(\lambda = L \frac{n^{2}}{n^{2} – 4}\)

dove \(L\) è una costante. Quasi subito vengono osservate altre righe spettrali di quella che oggi si chiama la serie di Balmer, e le relative lunghezze d’onda risultano in accordo con quelle prescritte dalla formula per \(n>6\).

Il passo successivo si deve allo svedese Johannes Rydberg che, essendo (contrariamente a Balmer) un fisico di professione, aveva imparato dal folklore degli spettroscopisti che il parametro giusto per classificare le righe spettrali non è tanto la lunghezza d’onda quanto il suo inverso, il numero d’onda \(k = \lambda^{-1}\), a sua volta legato alla frequenza dalla relazione \(\nu = ck\). In termini del numero d’onda la formula di Balmer si scrive

\(k = \frac{1}{L} \frac{n^{2}-4}{n^{2}} = \frac{4}{L} \left( \frac{1}{2^{2}} – \frac{1}{n^{2}}\right)\)

e tale espressione suggerisce immediatamente la forma più generale

\(k = R\left( \frac{1}{m^{2}} – \frac{1}{n^{2}}\right)\)

nota appunto come formula di Rydberg. Per \(m=2\) e \(n\geq 3\) si riottengono i numeri d’onda della serie di Balmer, ma la novità è che anche per altri valori di \(m\) questa formula descrive (al variare di \(n>m\)) delle sequenze di righe spettrali dell’idrogeno: per \(m=3\) si ha la serie di Paschen nell’infrarosso (osservata nel 1908), per \(m=1\) la serie di Lyman nell’ultravioletto (osservata nel 1914), e così via.

Un’ulteriore progresso si ha con il principio di combinazione di Ritz (1909), secondo cui non solo per l’idrogeno, ma anche per ogni altro atomo o molecola il numero d’onda di una riga spettrale può essere espresso come differenza tra due termini, detti per l’appunto termini spettrali. In tutta generalità si può dunque scrivere

\(k = T_{m} – T_{n}\)

Per l’atomo di idrogeno è ovviamente \(T_{n} = R/n^{2}\). La molteplicità delle righe negli spettri più complessi può così essere ridotta a un numero molto minore di dati, indicizzati (e questo, come vedremo, sarà un particolare molto importante) da coppie di numeri naturali.

Con il principio di Ritz il problema di descrivere empiricamente gli spettri si può ritenere risolto; occorre ora giustificare le formule così ottenute. Di nuovo, la meccanica classica si trova in gravissima difficoltà: essa richiede infatti che le frequenze caratteristiche di un moto periodico («armoniche») si possano sempre esprimere come una combinazione lineare a coefficienti interi di un certo numero di frequenze fondamentali. Nulla di tutto ciò si osserva negli spettri, in cui le frequenze, come si è visto, obbediscono invece al principio di combinazione di Ritz. Inizia così a farsi strada l’idea che per spiegare gli spettri sia necessario partire da idee completamente nuove, che presumibilmente coinvolgono l’ancora misterioso quanto d’azione di Planck.

Seguendo fino in fondo quest’intuizione, nel 1913 un ventottenne fisico danese il cui nome probabilmente non vi è ignoto, Niels Bohr, propone un modello dell’atomo di idrogeno che supera le difficoltà sopra ricordate, ma ad un prezzo molto caro: la definitiva rinuncia alla meccanica classica! Bohr parte dal già citato modello planetario dell’atomo, ma introduce due postulati completamente nuovi:

• un elettrone non può occupare un’orbita di raggio qualsiasi attorno al nucleo; esiste invece un insieme discreto di orbite permesse, o stazionarie;
• la radiazione viene emessa solo ed esclusivamente nel passaggio da un’orbita stazionaria all’altra, e la relazione tra frequenza ed energia emessa è quella data da Planck: \(\Delta E = h \nu\).

Ora, queste due ipotesi sono contraddittorie se assunte all’interno della fisica classica e siccome, come ben sanno i logici in ascolto, ex falso sequitur quodlibet (da principi contraddittori si può dedurre qualunque cosa) c’è voluto tutto l’istinto e il senso fisico di Bohr per cavarne fuori conclusioni sensate. Un ruolo fondamentale per stabilire le energie delle orbite permesse è giocato dal principio di corrispondenza (che però verrà chiamato in questo modo solo a partire dal 1920), secondo cui la frequenza della radiazione emessa in una transizione deve tendere, nel limite di orbite molto grandi, al valore previsto dalla meccanica classica. Grazie a quest’unica idea-guida Bohr fu in grado di derivare dal suo modello una formula per i termini spettrali dell’idrogeno, ottenendo così un’espressione della costante empirica di Rydberg in termini di altre costanti più fondamentali quali massa e carica dell’elettrone e, ovviamente, il quanto d’azione \(h\):

\(R = \frac{2\pi^{2} m e^{4}}{h^{3}}\)

che risulta in ottimo accordo con le misure spettroscopiche. Fu questa derivazione di \(R\) che, più di ogni altra cosa, convinse i contemporanei di Bohr della bontà del suo modello. Un’ulteriore conferma arriva nel 1914 con l’esperimento di Franck e Hertz (quest’ultimo nipote del più celebre scopritore delle onde elettromagnetiche), che rende evidente il carattere discreto dei livelli energetici negli atomi.

Negli anni successivi molti tra i maggiori fisici teorici dell’epoca si dedicano allo studio e allo sviluppo delle idee di Bohr; nasce così quella che in seguito, con l’affermarsi della MQ vera e propria, sarà chiamata la «vecchia teoria dei quanti». Basterà qui citare ad esempio un fondamentale lavoro di Einstein del 1917, in cui il fresco padre della relatività generale colma una lacuna che affligge il modello di Bohr chiarendo il meccanismo con cui gli atomi emettono e assorbono radiazione (se avete mai sentito parlare dei coefficienti di Einstein, sappiate che sono introdotti in questo articolo) e i lavori di Sommerfeld, Debye e altri che estendono i postulati di Bohr al caso di orbite ellittiche e ai sistemi (integrabili) con più gradi di libertà.

Nonostante questi promettenti sviluppi, comunque, la «teoria dei quanti» resta complessivamente in uno stato poco soddisfacente: ad esempio ogni tentativo di applicazione agli spettri degli atomi con più di un elettrone (a cominciare da quello dell’elio) fallisce miseramente. Un paio di citazioni renderanno bene l’idea della situazione: Jammer afferma

In spite of its high-sounding name and its successful solutions of numerous problems in atomic physics, quantum theory, and especially the quantum theory of polyelectronic systems, prior to 1925, was, from the methodological point of view, a lamentable hodgepodge of hypotheses, principles, theorems, and computational recipes rather than a logical consistent theory.

e van der Waerden rincara:

The research work during the years 1919-1925 that finally led to Quantum Mechanics may be described as systematic guessing, guided by the Principle of Correspondence.

Le capitali indiscusse della nuova teoria sono Copenhagen, dove Bohr chiede e ottiene nel 1921 l’apertura di un nuovo istituto di fisica teorica che oggi è giustamente a lui intitolato, e Göttingen, dove sono attivi Max Born (del quale riparleremo) e il già citato Franck. Subito dopo viene il dipartimento di fisica teorica dell’università di Monaco, dove opera Sommerfeld (è persino riduttivo definirlo il “capo”, considerato che l’intero dipartimento è stato creato a seguito della sua nomina a professore nel 1906), e quindi Berlino, dove però c’è la “vecchia guardia”: Planck (che nel 1925 ha 67 anni) e Einstein (che ne ha 46). Altri luoghi che giocheranno un ruolo importante sono Parigi, Zurigo e Cambridge, come vedremo. Il testo sacro su cui si formano i giovani studenti è il libro Atombau und Spektrallinien (“struttura atomica e linee spettrali”) di Sommerfeld, giunto alla sua quarta edizione.

Questa è dunque la situazione alla fine del 1925 quando, a seguito di una curiosa serie di circostanze, compare sullo Zeitschrift für Physik l’articolo di un giovane, e relativamente poco conosciuto, fisico tedesco che modificherà radicalmente lo scenario… (continua)

In questa sede (come dicono i professionisti) ci occuperemo invece nel dettaglio di un periodo di tempo molto più ristretto, ma decisivo, che va dalla metà del 1925 alla fine del 1927: poco più di due anni quindi, nel corso dei quali però verranno scoperti tutti gli ingredienti fondamentali  su cui si basa la teoria finale.

In questa parte 0 (come tutti i matematici, anch’io comincio a contare da zero) vorrei spendere due parole sul contesto storico che fa da sfondo all’opera dei padri fondatori. Mi concentrerò soprattutto sulla situazione in Europa, visto che all’epoca la fisica si faceva quasi esclusivamente nel vecchio continente: gli Stati Uniti avevano ancora un ruolo marginale, soprattutto dal punto di vista della teoria (con alcune notevoli eccezioni come Gibbs), il Giappone era sostanzialmente appena entrato a far parte della comunità scientifica internazionale e la Russia, o meglio l’URSS, era ancora alle prese con i postumi della rivoluzione di ottobre. Per tutti questi motivi la meccanica quantistica può essere considerata una teoria prettamente europea (e anzi, oserei dire nordeuropea).

Facciamo quindi un tuffo indietro nel tempo fino al 1925: la prima guerra mondiale è finita da poco più di sei anni e l’Europa si sta lentamente riprendendo dalle terribili devastazioni che essa ha comportato, sia in termini materiali che, soprattutto, in termini di vite umane (16 milioni di morti tra militari e civili). Per i paesi vincitori (Francia, Inghilterra) il peggio è alle spalle: l’economia si sta riprendendo e i sommovimenti politici e sociali che avevano caratterizzato un po’ dappertutto l’immediato dopoguerra (anche per via dell’enorme influenza esercitata dal successo della rivoluzione russa) sono stati contenuti senza ripercussioni durature.

Più complicata, naturalmente, è la situazione dei paesi sconfitti. In Germania resiste per il momento la repubblica di Weimar, che nonostante la congenita fragilità delle sue istituzioni è stata comunque in grado di superare, bene o male, due diversi tentativi di colpo di stato a opera di Kapp nel 1920 e di Hitler (sì, quell‘Hitler) nel 1923. L’economia è gravemente azzoppata dai debiti di guerra e dall’iperinflazione, ma gli “anni terribili” (1922-1923) sono alle spalle e la situazione, seppur lentamente, sembra migliorare, anche grazie al piano Dawes che mette a disposizione ingenti prestiti dagli Stati Uniti. Sul piano politico si cerca di arrivare a una normalizzazione dei rapporti con la Francia, il che porterà nell’ottobre di quell’anno agli accordi di Locarno (in cui la Germania si impegna a riconoscere il confine stabilito dal trattato di Versailles, rinunciando quindi definitivamente ad Alsazia e Lorena) e, l’anno dopo, all’ingresso della Germania nella Società delle nazioni.

Anche Austria e Ungheria non se la passano bene: avendo perso rispettivamente il 60% e il 72% del loro territorio al termine della prima guerra mondiale, si ritrovano ora con un’industria sproporzionata rispetto ai loro bisogni e con possibilità di commercio severamente limitate dalle nuove frontiere (basti ricordare che l’Austria, con la perdita di Trieste, Istria e Dalmazia, non ha più neanche un porto). In Austria c’è una repubblica, tanto per cambiare debole, con al governo il partito cristiano-sociale (di destra); in Ungheria, dopo la breve parentesi di Bela Kun nel 1919, c’è di fatto una dittatura guidata dall’ammiraglio Miklos Horthy.

E in Italia? Ahimè, qui il fascismo è in piena ascesa e sta smantellando gli ultimi resti di democrazia. L’anno precedente (1924) si sono tenute le famose elezioni in cui il listone fascista ottiene il 65% dei voti, seguite dal delitto Matteotti e dalla secessione sull’Aventino delle opposizioni. L’anno si apre (3 gennaio) come peggio non potrebbe, ovvero con il discorso alla camera di Mussolini in cui dichiara di «assumersi la piena responsabilità politica, morale e storica di quanto accaduto». Nessuno reagisce, ed è la fine della repubblica parlamentare: nei mesi successivi viene sospeso il parlamento, messi fuorilegge gli altri partiti e soppressa la libertà di stampa.

Comunque, come abbiamo già accennato, dal punto di vista della fisica l’Italia è per il momento completamente fuori dalla mappa, e ci rimarrà ancora per qualche anno. Per sapere quali sono i luoghi dove si farà la storia dovrete però aspettare la prossima puntata, in cui daremo un’occhiata alla situazione della fisica teorica nel 1925. (continua)