Il punto di partenza è, come sempre in questi casi, del tutto elementare. Dato un numero naturale \(n\), consideriamo la somma delle sue cifre (decimali); otteniamo così un nuovo numero naturale \(s(n)\) che è sempre minore o uguale a \(n\). Ad esempio se \(n = 274\) abbiamo

\(s(n) = 2+7+4 = 13\)

Possiamo anzi dire di più: risulta \(s(n) = n\) se e solo se \(n\) consiste di una singola cifra, dato che in caso contrario \(n\) contiene (almeno) un’altra cifra maggiore di zero il cui valore posizionale è maggiore del valore effettivo (decine, centinaia, etc.), e quindi è necessariamente \(s(n) < n\). (Non è restrittivo considerare solo sviluppi decimali ben formati, cioè che non contengono zeri in posizione iniziale: insomma, scrivere 007 invece di 7 non vale, con buona pace di eventuali agenti segreti in ascolto.)

Abbiamo quindi un’operazione (unaria) \(s\) definita su \(\mathbb{N}\) che ha un certo insieme di punti fissi (ovvero i dieci numeri di una cifra, da 0 a 9) ed è strettamente decrescente su tutti gli altri numeri. Ne segue che, per qualunque numero di partenza \(n\in \mathbb{N}\), l’applicazione ripetuta di \(s\) a \(n\) converge in un numero finito di passi a uno dei punti fissi, cioè a un numero di una cifra. Il numero di passi necessario perché questo accada si dice la persistenza additiva di \(n\), mentre il risultato finale (il punto fisso a cui si converge) è detta la sua radice numerica (digital root in inglese).

Nell’esempio precedente abbiamo che \(s(274) = 13\), che ha ancora due cifre; dobbiamo quindi iterare il procedimento per ottenere \(s(13) = 4\), che è punto fisso (\(s(4) = 4\)). Ne concludiamo che \(274\) ha persistenza additiva 2, e la sua radice numerica è 4.

Tutto ciò potrebbe riportarvi alla mente dei vaghi ricordi scolastici collegati al concetto di “criteri di divisibilità”; questo perché la radice numerica di un numero \(n\) coincide sempre con la classe di resto della divisone di \(n\) per 9, e in particolare è 9 (o 0) se e solo se \(n\) è divisibile per 9. Ne segue che calcolare la radice numerica di \(n\) è un modo rapido per verificare se \(n\) è divisibile per 9. La celebre (e spesso citata a sproposito…) prova del nove si basa sulla medesima proprietà.

Quanto alla persistenza additiva, invece, salta fuori che calcolarla senza usare il processo iterativo che la definisce è un problema tutt’altro che facile: da una breve ricerca in rete non ho trovato riferimenti a formule chiuse, solo a tabelle (e qui si distingue come al solito per completezza la OEIS). Ci possiamo però porre domande di altro tipo: ad esempio, dato \(k\in \mathbb{N}\), qual è il minimo numero naturale \(m_{k}\) che ha persistenza pari a \(k\)? La risposta è facile per \(k\leq 1\): siccome i numeri che hanno persistenza zero sono esattamente quelli di una cifra, abbiamo che \(m_{0} = 0\) e \(m_{1} = 10\) (minimo numero naturale di due cifre). Quanto ai numeri di persistenza due, ci si rende conto abbastanza in fretta che fino a 18 la persistenza resta uno, mentre \(s(19) = 10\) che ha già persistenza uno, quindi 19 è il minimo numero naturale di persistenza 2.

In generale, l’idea di considerare numeri con “tanti 9” sembra buona: se vogliamo massimizzare una somma, tanto vale massimizzare separatamente ciascun addendo. Ma numeri della forma 99…9 non funzionano: ad esempio abbiamo che \(s(99) = 18\), e ci manca una unità per raggiungere il primo numero di persistenza due (che abbiamo già visto essere 19). Dobbiamo insomma aggiungere (almeno) un 1, e il posto più logico per farlo è come cifra più significativa, visto che vogliamo il minore numero di persistenza data. E infatti risulta

\(s(199) = 19\),   da cui   \(s(s(199)) = 10\)   e   \(s(s(s(199))) = 1\),

quindi 199 ha persistenza tre e nessun’altro numero minore di esso ha questa proprietà; ne concludiamo che \(m_{3} = 199\). La successione degli \(m_{k}\) inizia quindi così:

\(0, 10, 19, 199, \ldots\)

A questo punto potreste essere tentati di congetturare che \(m_{k}\) sia sempre dato da un 1 seguito da \(k-1\) nove, ma sarebbe una generalizzazione decisamente affrettata! Si vede subito infatti che

\(s(1999) = 28\)   e   \(s(28) = 10\),

quindi 1999 ha ancora persistenza tre, esattamente come 199. Il punto è che la lunghezza della stringa di 9 deve ovviamente crescere all’aumentare di \(k\), ma questa crescita dev’essere necessariamente (molto) più che lineare, perché la loro somma deve dare luogo a una successione \(m_{k}\) che cresce a sua volta in maniera più che lineare. (Confusi? Tra qualche minuto sarà tutto un po’ più chiaro, almeno spero.)

Ma quindi quanti 9 ci vogliono? Cerchiamo di impostare il problema in maniera un po’ più strutturata. Anzitutto è chiaro dagli esempi visti fino a qui (e non è difficile dimostrare rigorosamente) che il minimo numero di persistenza \(k+1\) è quello la cui somma delle cifre dà esattamente \(m_{k}\), ovvero il minimo numero di persistenza \(k\). Stiamo cioè cercando i termini di una successione che è caratterizzata da una relazione ricorsiva implicita della forma seguente:

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = 10\\ s(m_{k+1}) = m_{k} \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\qquad (\dagger)\)

(non si tratta di una vera e propria definizione per ricorsione perché nell’ultima riga il termine \(m_{k+1}\)  compare “imprigionato” come argomento di una funzione non invertibile, dalla quale quindi non è “liberabile” in maniera unica). Abbiamo anche già una congettura su come dev’essere fatto ciascun numero \(m_{k}\) (almeno per \(k \geq 2\), che è il caso che ci interessa): deve avere come cifra iniziale 1 seguito da una stringa di 9 di una certa lunghezza, chiamiamola \(\ell_{k}\). Più formalmente possiamo scrivere

\(m_{k} = 2\cdot 10^{\ell_{k}} – 1 \qquad (\ast)\)

infatti la sottrazione di una unità trasforma ciascuno zero in \(2\cdot 10^{\ell}\) in un nove, e come tutti sanno il numero \(10^{\ell}\) ha esattamente \(\ell\) zeri. Basta quindi determinare la successione degli \(\ell_{k}\) e il problema è risolto.

Ora, usando questa congettura è facile calcolare la somma delle cifre di \(m_{k+1}\): risulta

\(s(m_{k+1}) = 1 + 9\ell_{k+1}\)

D’altro canto la terza riga della \((\dagger)\) ci dice che questa stessa somma deve coincidere con \(m_{k}\), e sostituendo l’espressione \((\ast)\) otteniamo la relazione di ricorrenza

\(1 + 9\ell_{k+1} = 2\cdot 10^{\ell_{k}} – 1\)

che, questa sì, può essere risolta per \(\ell_{k+1}\), ottenendo

\(\ell_{k+1} = 2(10^{\ell_{k}} – 1)/9 \qquad (\circ)\)

con valori iniziali \(\ell_{2} = 1\) e \(\ell_{3} = 2\) che derivano dai casi facili che abbiamo fatto “a mano” in precedenza. Da qui vediamo ad esempio che risulta \(\ell_{4} = 2(10^{2} – 1)/9 = 22\), quindi il minimo numero di persistenza 4 ha come sviluppo decimale un 1 seguito da ventidue nove (!). Altro che 1999…

In effetti la formula \((\circ)\) rende evidente come la crescita della successione \(\ell_{k}\) sia addirittura di tipo superesponenziale: infatti il termine precedente della successione compare come esponente di un fattore 10, quindi ad ogni incremento dell’indice \(k\) si ottiene una “torre” di esponenziali sempre più alta. (Qui ci starebbe bene un aggancio con la tetrazione, ma inizia a farsi una cert’ora…)

Possiamo anche ottenere una relazione di ricorsione chiusa per la successione \(m_{k}\): basta notare che la \((\ast)\) ci dice che \(m_{k+1} = 2\cdot 10^{\ell_{k+1}} – 1\), e sostituendo l’espressione di \(\ell_{k+1}\) data dalla \((\circ)\) si ha

\(m_{k+1} = 2\cdot 10^{2(10^{\ell_{k}} – 1)/9} = 2\cdot 10^{(m_{k}-1)/9}\)

dove nel secondo passaggio abbiamo usato ancora una volta la \((\ast)\). Abbiamo quindi in definitiva

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = 10\\ m_{k+1} = 2\cdot 10^{(m_{k}-1)/9} – 1 \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\)

Anche questa successione è contemplata dalla OEIS (A006050), ma persino Neil Sloane si è dovuto arrendere davanti alla crescita superesponenziale: l’ultimo termine che riporta esplicitamente infatti è \(m_{4} = 19999999999999999999999\), e al posto dei termini successivi c’è il laconico commento

The next term a(5) is 1 followed by 2222222222222222222222 9’s.

Un’ultima considerazione è di rigore. Come in tutti i ragionamenti che coinvolgono lo sviluppo decimale di un numero naturale, alla fine resta un po’ la sensazione di aver fatto della semplice numerologia, priva di significati aritmetici più profondi. Possiamo rendere il discorso un po’ più “canonico” generalizzando il tutto dalla base 10 a una qualunque base positiva \(b > 1\). Vi risparmio tutta la tiritera e passo direttamente al risultato finale, che in questo caso si scrive

\(\left\{\begin{array}{l} m_{0} = 0\\ m_{1} = b\\ m_{k+1} = 2\cdot b^{(m_{k}-1)/(b-1)} – 1 \text{ per ogni } k \geq 1 \end{array}\right.\)

In particolare per \(b=2\) risulta semplicemente

\(m_{k+1} = 2^{m_{k}} – 1\)

La successione così definita, targata A007013 nella OEIS, è nota anche come  “numeri di Catalan-Mersenne” e, sorprendentemente, salta fuori in alcune congetture sui numeri primi. Visto che alla fine anche la matematica ricreativa può portare a problemi interessanti?

Il matematico in questione era Joseph Liouville, che aveva all’epoca 44 anni, era entrato a far parte del Bureau nel 1840 e da appena due anni era stato nominato professore al prestigioso Collège de France. La sua comunicazione verrà pubblicata due anni dopo nel Journal de mathématiques pures et appliquées, da lui stesso fondato nel 1836 (e che per questo sarà noto a lungo come Journal de Liouville), ed è oggi liberamente disponibile in rete.

In questa brevissima nota di una pagina Liouville enuncia (dire “dimostra” sarebbe troppo generoso) un teorema riguardante «l’integrazione delle equazioni della Dinamica» (ovvero le equazioni di Hamilton). Si tratta della prima parte di quello che oggi conosciamo come teorema di Liouville-Arnold (la seconda parte, quella dovuta ad Arnold, arriverà molto più tardi, precisamente nel 1963). Possiamo quindi dire che la teoria dei sistemi Hamiltoniani completamente integrabili compie oggi 164 anni, peraltro portati discretamente bene, a giudicare dal numero di pubblicazioni che continuano a uscire sul tema. Buon compleanno, dunque!

Per chi volesse approfondire la conoscenza di questo personaggio  — e fidatevi che merita, la sua vita è stata quanto di più lontano ci possa essere dai classici cliché della professione — non posso che consigliare la stupenda biografia che Allyn Jackson gli ha dedicato 10 anni fa nelle Notices of the American Mathematical Society, liberamente disponibile su internet: qui trovate la prima parte e qui la seconda. Da segnalare anche questo articolo, scritto dal suo amico e collaboratore Pierre Cartier.

Addio Alexander, e grazie per tutto quello che ci hai insegnato.

Suggerimento: un teorico dei numeri dovrebbe riconoscerla a prima vista, dato che rappresenta uno degli oggetti di studio fondamentali di questo ramo della matematica.

Il vincitore avrà in premio la spiegazione di come l’immagine è stata generata (che culo, eh?).

Aggiornamento (16/7): siccome nessuno ha ancora svelato l’arcano, mi permetto di dare un secondo suggerimento: il diavolo si nasconde nei dettagli. In particolare vorrei richiamare la vostra attenzione sull’angolo in alto a sinistra della figura, che riporto qui di seguito opportunamente ingrandito (e con qualche utile annotazione):

(Uhm, non starò dando nomi troppo esplicativi a questi file?)

\(100^{1000000} = 10^{2\cdot 10^{6}}\)

libri distinti. Il racconto prosegue con i personaggi che cercano di farsi un’idea di quanto sia grande questo numero; inutilmente, dato che esso va chiaramente oltre ogni capacità di comprensione intuitiva.

In effetti occorre riconoscere al buon Kurd che i numeri grandi sono un argomento affascinante e, oltretutto, di nobile origine: il primo ad occuparsene infatti è stato niente meno che Archimede. Nell’Arenario il siracusano afferma di essere in grado di contare il numero di granelli di sabbia necessari per riempire l’Universo (che, per la cronaca, stima in \(10^{63}\)), e per dimostrarlo è costretto a inventarsi una notazione adatta: la numerazione in uso nella Grecia antica consentiva infatti di esprimere con facilità solo i numeri fino a diecimila (detta miriade), e con un po’ più di lavoro quelli fino a \(10^{8}\) (doppia miriade). Archimede parte da questo primo traguardo e chiama quelli che seguono i «numeri del secondo ordine», che quindi arrivano fino a \(10^{16}\) dove iniziano i «numeri del terzo ordine», e così via. Questo schema prosegue fino alla doppia miriade di ordini, che in notazione moderna sarebbe \((10^{8})^{10^{8}} = 10^{800000000}\) (notare che siamo già oltre al numero di libri della biblioteca di Lasswitz). Ma Archimede non si ferma qui: chiama quelli ottenuti fino a quel momento i «numeri del primo periodo», e prosegue con i periodi successivi. Il numero più grande cui dà un nome è quello che si ottiene al termine della doppia miriade di periodi, ovvero

\(10^{8\cdot 10^{16}}\)

Non saprei dirvi in quale momento, nella lunga storia del pensiero umano, siano stati considerati per la prima volta numeri più grandi di questo. Sicuramente ciò avvenne nel 1938, quando il matematico americano Edward Kasner chiese al suo nipotino di 9 anni di inventare un nome adatto a un numero grandissimo (in realtà Kasner pensava “solo” a \(10^{100}\)), e il nipotino rispose «googol!», coniando così (seppur inconsapevolmente, e trascurando una piccola storpiatura successiva) il nome di uno dei più grandi colossi informatici del secolo successivo. La storia non finisce qui, perchè il medesimo nipote (non sappiamo se nuovamente sollecitato dallo zio o sua sponte) propose successivamente il termine googolplex come sinonimo di “uno, seguito da tanti zeri quanti ne puoi scrivere finché non ti stanchi“. Lo zio, che era pur sempre un matematico, pensò di formalizzare questa definizione ponendo il googolplex pari a «dieci alla googol», ovvero \(10^{10^{100}}\); e questo è senza dubbio più grande di tutti i numeri considerati da Archimede due millenni prima.

Ma sarebbe un errore pensare che i numeri grandi vengano tirati in ballo solo per motivi futili come contare quanti granelli di sabbia (o, per tornare ai nostri tempi, quanti protoni) stiano nell’Universo, o per soddisfare la fantasia del nipotino prediletto. Nel 1933 il matematico sudafricano Stanley Skewes decise di rendere più concreto un risultato ottenuto dal suo maestro Littlewood (sì, quel Littlewood) riguardante le funzioni \(\pi(x)\) (la funzione che conta i numeri primi minori di \(x\)) e \(\text{li}(x)\) (il logaritmo integrale). Littlewood aveva dimostrato che la prima può assumere valori maggiori della seconda, pur non indicando alcun numero per cui ciò accade; in effetti per tutti i numeri “ragionevoli” risulta \(\pi(x) < \text{li}(x)\). Skewes riuscì a dimostrare che tale disuguaglianza è violata da un \(x\) tale che

\(x < e^{e^{e^{79}}} < 10^{10^{10^{34}}}\)

Il secondo di questi numeri è passato alla storia con il nome di numero di Skewes, ed è (neanche a dirlo) assurdamente più grande persino del googolplex, visto che il \(100\) che figura in quest’ultimo come secondo esponente viene qui sostituito da un \(10^{34}\).

Se state pensando che col numero di Skewes abbiamo toccato il cielo (o il fondo, a seconda dei punti di vista) vi sbagliate, e di grosso (diciamo di un googol). Non vi tedierò ulteriormente parlando di tetrazione, funzioni di Ackermann e altre amenità del genere, ma giunti a questo punto non si può evitare di menzionare il numero di Graham, che si è guadagnato da Martin Gardner l’appellativo (pienamente meritato) di «più grande numero mai usato in una dimostrazione matematica seria». Ci piacerebbe moltissimo esibire all’interno di questo post il numero di Graham (chiamiamolo \(G\)) in tutto il suo splendore, ma sfortunatamente una serie di considerazioni tecniche ci suggeriscono di soprassedere. Per una sua esaustiva descrizione rimandiamo all’articolo di Wikipedia sopra linkato; in questa sede ci piace invece ricordare il contesto in cui venne definito questo numero enorme. In un manoscritto (purtroppo) non pubblicato, Graham era riuscito a dimostrare che un certo problema della teoria di Ramsey ammette come soluzione un numero naturale \(n\), senza tuttavia avere idea di come calcolarlo. Dovette quindi limitarsi, com’è d’uso in questi casi, a darne un limite inferiore e un limite superiore; ma quest’ultimo risultò essere proprio \(G\)! Ciò diede origine a quello che, a mio avviso, è indiscutibilmente uno dei passaggi più memorabili nella storia della letteratura matematica. Dopo aver dimostrato che la soluzione cercata è da qualche parte tra 6 e l’incomprensibilmente grande \(G\), Graham conclude asciutto: «Clearly, there is some room for improvement here.»

Aggiornamento (23/6): ho visto anche Johnstone. Al riguardo non posso che riportare il commento di un losco figuro di cui, per motivi di privacy, taceremo il nome (e che a sua volta citava Pratchett): “non ha un girovita, ha un equatore”.

Nell’articolo sopra linkato è descritto un metodo per costruire un file zip la cui decompressione coincide con il file di partenza (da cui la citazione della cosmologia delle tartarughe resa popolare da Hawking). Chiunque abbia una certa familiarità con le opere di Douglas Hofstadter non può fare a meno di riconoscere in ciò un esempio di strano anello (e in effetti i programmi autoreplicanti sono esplicitamente trattati in “Godel, Escher, Bach”), tant’è vero che all’inizio dell’articolo l’autore fa esplicito riferimento ad altri strani anelli tra cui il superclassico feedback video e la copertina di un celebre libro di teoria degli insiemi (anche se quest’ultima è solo un abbozzo dell’effetto Droste vero e proprio… ma non sottilizziamo). Proprio la teoria degli insiemi, però, fornisce esempi ben più calzanti di strano anello.

In qualunque teoria degli insiemi una domanda molto interessante da porsi è: esistono insiemi che sono membri di sé stessi? A prima vista una eventuale risposta affermativa non sembra nulla di catastrofico, e invece ha conseguenze abbastanza spiacevoli. Per vederlo cominciamo col ricordare un principio cardine di ogni teoria degli insiemi, l’assioma di estensionalità: ogni insieme è completamente determinato dalla conoscenza dei suoi elementi. Supponiamo ora che qualcuno ci dia un insieme \(X\) e, alla richiesta di specificarne gli elementi, risponda che

\(X = \{X\}\)

ovvero che \(X\) ha un unico membro e quell’unico membro è proprio sé stesso! Sembra difficile sostenere che questa affermazione aumenti le nostre conoscenze riguardo agli elementi di \(X\), e anche continuando a sostituire all’interno delle parentesi graffe la situazione non migliora:

\(X = \{X\} = \{ \{X\} \} = \{ \{ \{X\} \} \} = \ldots\)

È come se avessimo un pacco regalo che, una volta scartato, rivela al suo interno lo stesso identico pacco, e così di seguito ad infinitum; da cui la definizione di Moschovakis ricordata all’inizio del post. Il problema con l’estensionalità è evidente: se ora prendiamo un altro insieme \(Y\) tale che \(Y = \{Y\}\) come facciamo a decidere se \(X=Y\), visto che in nessuno dei due casi abbiamo idea di quali siano i loro elementi?

Ci sono due modi per uscire da questa impasse. Il primo è quello di vietare esplicitamente la possibilità che un insieme possa essere elemento di sé stesso, tipicamente adottando l’assioma di regolarità (il che ha anche altri vantaggi, soprattutto da un punto di vista meta-matematico); il secondo è quello di ammettere insiemi del genere ma modificare l’assioma di estensionalità in maniera tale da poter distinguere tra loro gli insiemi non ben fondati (vedi ad esempio questo libro di Peter Aczel per un’idea di come sia possibile procedere).